II. — Notation de Weierstrass

229. Formes en nombre infini de la fonction :r. — Considérons le produit duublemeul infini à laide duquel nous avons défini la fonction du

iv = ). m Oi -7- ->- n (X) , > o, __ I , : 2, . . . ,

et soient 2(o,, 2 0/, des périodes équivalentes à 2 eu, 2co'; les quantités

ii'i = 2«Ji loi — >./«! to, . ■ O, zrr I, i 2, . . . ,

sont les mêmes, à l'ordre près, que les quantités iv; le produit

est donc composé des mêmes facteurs que le produit précédent; ou, en précisant, tout facteur de l'un des produits est aussi un facteur de l'autre produit. On sait que l'ordre des facteurs n'intervient pas; on a donc

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376 cil A PI tri: \in.

ou, en désignaiU jKir i[ii [ co, to'), la fonction a* dont les zéros sont

imtù -r- 7. nui',

Cj{u](ji,(a')—:j{u\ toi, w'j ),

sous la seule condition que les périodes 2to,, aoi', sont équivalentes aux périodes 2w et 9.(0'.

Ainsi la fonction es" ne change pas quand on remplace la paire (le périodes primitives, qui a servi à la construire, par toute autre paire de périodes équivalentes. Il en est de même, évidemment, des fonctions -^ et jd qui se déduisent de s" par des din'érentialions. C'est ce que l'on voit aussi en partant des séries qui définissent !^(î^|io, o)') et jj(?/Uo, (o'). Quand, dans ces séries, on remplace 2to et 2(o' par les périodes équivalentes 2a>, et aw', , elles ne changent pas, car les termes qui les composent ne font que changer de places.