Invariants. Invariant absolu J. — Les invariants

IV = iniui -^ in to'

ne changent pas de valeurs quand on remplace les périodes 210 et 2(o' par des périodes équivalentes 2(o, et 2o>', . Ce fait est évident, d'après ce que nous venons de voir, car la suljstilution de co, et w', à cjo et lo', dans les deux séries, ne fait (|ue changer l'ordre des termes.

La quantité g-y est homogène et du degré — 4 par rapport à (xi et to'; 0-3, homogène et du degré — 6 par rapport à oj et o>'. On peut mettre ce fait en évidence, en écrivant

(x>{ini -^ in'z).

Alors

Le discriminant

lu'* ^d {lin — ini)'* ' w"^ (2,

{•lin -t- 2/ix)6 est homogène et du degré — 12 par rapport à oi et to'.

l'KR IODES KQr I VALEXTES. Syj

Nous allons l'ormer une combinaison tic g-^ cl g^■^ lioinog('-ne et de degré o en co et (.<>' : celte combinaison ne dépendra plus que du rapport des périodes t. Pour cela considérons, avec M. Klein, la quantité

Cette quantité!, étant le (piotient de deux fonctions homogènes de degrés — 12 de to et to', est du degré o. Elle ne dépend plus que du rapport t des périodes. Nous mettrons en évidence cette variable unique t dont dépend J, en écrivant cette quantité J sous la forme

On peut appeler cette fonction !(■:) V invariant absolu des fonctions elliptiques aux périodes 20J et 2to'. Nous avons déjà re-

marqué au n° 36 que ^ est une fonction du seul rapport des » 3

périodes : avec la notation de M. Klein, on a