ET L

Il4 CUV PITRE IV.

T'i. Fonctions II, IIi. 0, 61 de Jacobi. — Nous avons vu que du cl II('/) sont analogues à — ^sln-^ tandis que pu est analogue à

-^ En Trisronométrie on introduit, en même temps que

sin^ —

ces fonctions, celles qu'on en déduit en ajoutant à l'argument // une constante a> égale à la moitié de la période aco, et l'on pose

cos — = sin — (u -+- w).

De même, à côté de la fonction H(//) construite avec les périodes O.K. et 2?'R', on considère les fonctions obtenues en ajoutant successivement à l'ai'gument u les demi-périodes K, R' cl K-h i'K', ou du moins des fonctions qui ne diffèrent de celles-là que par des facteurs exponenliels simples.

En désignant par A l'exponentielle

X = e * '^ linéaire en «, on définit les fonctions H,, 0, B, par les égalités

lii{u)= U(u-hK),

(0 ;®^") =â^nu-^ii^),

0,(ii) = - H(«-i- K-i-iK');

les deux dernières montrent immédiatement que (2) 0i(k) = 0(?t-hK),

car, si l'on ajoute K à u, A se reproduit multiplié par — i.

Voici quelques détails sur les expressions de ces fonctions par des séries.

Tout d'abord la formule

Ui(u) = H(«-+-K) donne, pour définir H,(w), la série

1/- T.lt ;/-— SrK 4/ — - — — (2/z-f-i)rj<

Hi(«) =21/7 cos—.. -{-'2.\/q^ cos — p — ■-... + 7. Y g' -''-^^^- cos f-...,

KTlDli SI'KCIALI:: I) K S NOTATIONS DE JACOIII. Il'

OU en remplaçant les cosinus par des exponenlielles et en rernanpiant que — (?,/? -t- i") = ■>. ( — // — i) H- i

(2n-i-li' /7t»/ 3— K' (2n-l-l)> /7t/

On peut encore donner une autre forme à cette série en considérant l'exposant de e qui est du second degré en (a/i-t-i), comme formé par les deux derniers termes du développement de

On a ainsi

Passons maintenant à la fonction 0,. On a par définition

6i(u) = \ n(u -+- K -i- tK') = I Hj(a -f- iK').

Or

lI,(K-<- «K ) = e ^i»^*^ ^'^ > e*'^'^

Dans la nouvelle série le nombre pair (in -+- 2) prend toutes les valeurs de — xà+x; on peut le remplacer par 211, on trouve alors

série analogue à celle qui définit \\i{u), mais où figure, dans le terme général, un nombre pair 2/i à la place de (2/i-{- i).

(^uand on augmente a de i¥J les sommes qui figurent dans les expressions de Hi («) et 0i(m) s'échangent l'une dans l'autre. Il en est donc de même pour II, ( u) et 0, (//), à un facteur près prove-

liant de raccroissemenl de l'exposant de e *^^ . On vérifie ainsi les égalités suivantes qui résultent aussi des équations (i)

\lx{u -\- iK' ) — e'iK'^'"^' ' 0,(a) = X 6,(^0-

e,(« -1- tK') = e~4's''"^' 'il, («)■•= >> n,(«)-

ii6 ciiAPiTiiii: IV.

La série qui délinil la fonction 0|(//) peut s'écrire en efTecluant

la mulliplication de chaque lerme du second membre pare '"'*'*

ni u II

OU, en associant les termes qui correspondent à deux valeurs de n égales et de signes contraires

^ , TUi ,17111 , nr.u

01 (h) = I -f- 27 COS — h 2(7* COS —^. \-. . .-\- -iq"- COS — jT 1-. . . .

Iv Iv K

Enfin, la quatrième fonction B(w) peut se définir au mo)en de

l'égalité

on a donc

,,, , T. Il , 1-u , n-KU

e(ii) = i — ir/ cos-p — 1-27* COS — h. . .-h (— 1 )"7""cos —r-r h. . . .

Il résulte de ces développements que, la fonction H(?^) seule est impaire, les trois autres sont paires

7o. Zéros des fonctions H, II,, 0, 0i. — Les zéros de H(«) sont connus. Ceux des trois autres fonctions s'en déduisent immédiatement d'après les égalités (i) qui définissent ces fonctions à l'aide de H(«).

Les résultats sont donnés par le Tableau suivant dans lequel on a inscrit, en face de chaque fonction, l'expression générale de ses zéros et où m et n désignent des nombres entiers

H(«), 2rtlK -r- 2/i<K',

H,(ti), (2m -+- i)K + 2/1/ K',

0(i<), 2/hK -I- (2/i -1- l)iK',

ei(«), (2»l -1- l)K + (2/2 -M)tK'.

76. Formules relatives à l'addition d'une période ou d'une demipériode. — Considérons, en premier lieu, la période aR et sup-

K T l' n E s p K c r v L !•: I) i: s \ o t \ t i o .\ s de j \ r n ii i . r r 7

posons qu'on ajoute celle période à rargiimenl, on a d'abord

comme cela rt'siilie des développemenls de \lii en série simple ou en produit simplement infini, développements qui ne dépendent

que des sinus et cosinus des multiples de — . • ' ' jt K

Les égalités qui définissent, à l'aide de H, les trois autres fonctions donnent le résultat correspondant |)Our ces fonctions; on trouve ainsi

U{i/ -h -iK) - — II(«), II 1 ( « H- 9. K ) — — l\i{u),

0(«^-2K) = e(»), ei(u -+--2K) = 0i(fO-

Si l'on ajoute seulement la demi-période R on a d'abord par définition

II(m-(-K) =Ui(u), e{u-hK) = 81(11),

et, en tenant compte des résultais précédents, on trouve

iii(f/ + K) =—U{u), ei(u-h K) = e(u).

Réunissons ces formules

11(11 -\- K) = Ui(u), IIi(«-l- K)=—H(u),

e(« + K) = ei(«),

Considérons maintenant la période 2/K'. Les résultats s'obtiennent aisément poui- 01 et 1I| en se servant des développements

TZn^ -^"^ r.

e,(aj = e ^'^'^ > e '''^ ,

Hi(h) = e ^'''* > e*^^

Si l'on augmente de 2 i'R' l'argument, chacune des fonctions 0,, H, se reproduit multipliée par le même facteur que l'expo-

Il8 CHAPITRE IV.

nontiolle

Désignons par ij. ce mulliplicaleiir, c'est-à-dire posons

nous aurons

61(11 -+- oiK')= [X ^i(u)' Hi(?/ -1- 2iK') = [x Ui{u).

Pour passer de là aux fonctions 0 et H, il suffit de diminuer l'argument de K dans les formules précédentes : 81 (ii) et H)(;<) deviennent respectivement 0(«) et +H(m), [jl se reproduit multiplié par e'~, c'est-à-dire — i , et il vient

e(u-{-'?.iK')=—ix6(u), H(«-T-2tK') = — |jlHi(k).

Réunissons ces formules

01 (» -f- ■iiK') = [JL 0i(«),

Uiiu~iil\') = ixHi{u), i^,„ + ,K')

Qiu -h 2iK' ) = — IX 6 (u),

H(u-r-2iK') = — ix}i(u),

Si l'on ajoute la demi-période /K', nous avons vu (n° 74) que les fonctions 0, , H, s'échangent à un facteur près )> défini par

À est le multiplicateur de l'exponentielle e ''"'^ correspondant à l'accroissement i'K' de l'argument ?^.

Si, dans les formules ainsi obtenues, on retranche K de l'argument, et si l'on remarque que A se reproduit multiplié par i, on trouve les formules correspondantes pour 0 et H. On a ainsi

ei(a-t-tK')= ÀHi(m),

}il(u-h iK) = À ei(«), , '^(2K-f-/K)

e{u-h iK') = ilU(u), '~^

U(u -f-iK') = il e{u),

Enfin, si l'on veut ajouter la demi-période R -f- iK', il suffit dans les formules précédentes d'ajouter K à l'argument, ce qui

KTUDE SPECIALE DES NOTATIONS DE JACOltl. r H.)

donne

e,(»-4- K-f- /K') = ilU(u),

Ut(u-JrK-^iK') =— i\ e(u). . 'E(2H-t-/Ki

e({f-+-K-4- tlv') = lUi(u), H(«-i-K-+- «K')= let(u),

11. Addition d'un nombre entier de périodes. — Supposons (l'abord que l'on ajoute 2 // R à Targunienl; cela revient à ajouter n fois successivement 2K et, comme le signe de la fonction peut seul changer, le résultat se déduit immédiatement des formules relatives à l'addition de 2K.

Supposons maintenant qu'on ajoute am/K', on pourrait encore ajouter successivement m fois 2 i¥J] mais on peut obtenir de suite le résultat en remarquant que chacune des fonctions 0, et H, est égale (n° 74) à une fonction admettant la période 2iK' multipliée par l'exponentielle

D'après cela

IIi(K-f-2mfK') = e -jT "'^"" Hi(?0>

, -tri T l" + ""h ) ^ , ,

(::>l(« -t- 2/njK ) = e ^ 0i(");

en remplaçant dans ces formules u par u — K, on trouve

H(«H-2mtK') = (— i)'"e"Tf~"'^""' ' H(«), e(îf -+- ?./??fK') = (— i)'"e~ K ""^"" 0(„).

Enfin, on démontrerait de même

(-»i[« w-(2/n -+-i)(K ] = e ^'^ Hi(f<),

e[i< -i-(2/?i-t-i)iK'] = (— i)'"fe '>»■ n(")-

78. Développements de IIi, 6, Wi en produits infinis simples. — Ces développements se déduisent du développement de H(;/)

CIIAPITRK IV

ohlcnu plus haut par rinlégralion de la série de colangeutcs qui donne Z(//V Nous avons trouvé (n" 7!2)

Il(,/)=Csin^j^U-'7-"'-~*^J\' — '7"'<^ ~" A Cherchons d'abord le développement de la fonction

/'Tï'f

ITZII

Quand on ajoute iK.' à l'argument ;/, l'exponentielle e '' se reproduit multipliée par q; le facteur

. Tzu e

Sin — r7 = —

alv

devient

li\J q

et l'on obtient