TC

0(m) = aITVi — ^2«+ie iv j(,g2,;+ie kJ

n =0 = A ( 1 — 2 ^ COS ^ + ^2 j I I 2 ^3 cos | ^f

Les développements en produit de H, et de 0, s'obtiennent immédiatement en changeant u en i^ + K dans les développements ci-dessus de H et de 0.

KTiDi: SPi':r 1 A I. !•: mes notations t)i: j\rom. iii

r^c fadeur A n'csl pas arhitiaiic j)iiis(]iie, dans les dcvfloppcmcnts en séries trigonomélriques des fondions H, M,, 0, B|, les coefficienls sont coniplèlcmcnl déterminés. Ainsi, en idenlifianl les développements de f), tii produit et en série, on doit avoir, quel que soit r,

A( i -4- •>.(] cos2.r -1- <7-)(i -i- ir/^ ros9..r -t- «y'^). . . = i -h ig cos?,a^ -1- 2<7* cosja? -^ -ig^ cosùx -r- ... ■

On aurait une première expression de A en faisant ^ = o dans celle identité. Jacobi a montré que l'expressfon ainsi obtenue peut être remplacée par la suivante :

A = il — (j-^){i —ij' ){\ — q''')

Nous admettrons ici ce résultat. On verra, dans une Note placée à la fin du Volume, comment on peut transformer le produit infini pour obtenir la série trigonomélrique et comment se présente, dans ce calcul, l'expression de A donnée par Jacobi.

Nous réunissons ici les développements en produits simplement infinis des quatre loiiclions. i'^n posant

A = (I — 7-\)(i — ryij(l — 76)..., 11 ( ^—^ ) = A2 v^g siiw<(i — -2 g- cos-iu -+- (/^)(i — 2q'*cosxu -h q^). . .,

II, / j = A2v/<7 cosu(] -h 27- cos'^. « -t- 7»)(i -^ 'iq'* cos->.u ^ q^ )

ki(- ) = A(i — iq cos'iu -\- q- ){i — -iq'^ C0S2i< -^ q^). . ..

e, I j = A ( I -!- a <7 cos 2 H -^ 7 - j ( i -f- •>. 7* cos 2 «t -4- ^"^ ; . • . .

79. Relation — H'(o)= II,(o) 0(o)0i(o). — Cette relation, sur

laquelle nous aurons à nous appuyer, se vérifie très simplement à l'aide des développements en produits infinis qui précèdent, en suivant une méthode donnée par M. Hermite (voir Note sur les fonctions elliplicjues, à la fin de l'Analyse de Serret, p. 791 et 798).

On a immédiatement

H,(o) = 2v/yAP2, e(o) = AQ2, e,(o) = AR^

122 CllAriTHE IV.

en posant pour abréger

Q=(l-7) (.^U)(,5,5)..., R = (H-<7) ((-|-<jr3)(i|(y5)

D'après la relation suivante duc à Euler

U — VJU - 7' je — y^) on voit que Ion a