PR
ou bien
PQR = i.
D'après cela
Calculons maintenant H'(o) en regardant H( — ^] comme un produit de deux, facteurs dont l'un serait sin?^, nous trouverons
^-H'(o) =Xi^q{i — g^-y-{ï — cj'*)'^(i — q^y-...= i^g A».
On a donc bien l'égalité qu'il s'agissait de démontrer ^H'(o) = H,(o)0(o)0,(o).
Berna/ que. — Les expressions précédentes de H,(o), 0i(o),
0(o) montrent que Ç'/c et {/A', définies plus loin (n° 83), sont des
K' (onctions uniformes de la variable t = ^j et la relation PQR == 1
permet de montrer que ce sont des fonctions de q régulières pour toutes les valeurs de q dont le module est moindre que i.
80. Formules relatives à l'échange de K et K'. — Dans la notation de Weierstrass nous avons vu que les fonctions <3'(f«|oj, to'), p{iu I Cl), 10') peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions
Cl)'
ÉTUDE SPÉCIAL K DES NOTATIONS DE JACOBI. li'i
Comme actuellement nous posons
co = K, eu' = /K', on a
to' .
— = K , KO = / K ; f
on |)asse donc des premières fonctions aux deuxièmes en permutant K et R'. Nous allons établir des formules du même genre pour les fonctions de Jacobi.
Convenons de désigner par H(w[ K, iK.') la fonction IJ construite comme plus haut avec les deux périodes 2K et 2fK'. Cette fonction s'exprime d'une manière simple à l'aide de la fonction H construite avec les périodes 2K' et a^'K, H(z/|R', /K). Comme
on a supposé la partie réelle de ,.- positive, il en est de même de
rr
la partie réelle de r^,; la quantité
go= e
a donc un module plus petit que l'unité, et la fonction
H(«|K', /K)est
II II-, -i- 4/ — . ~U '*/ — â • 3~M
\\(u\K , iK) = ■?. \j qa sin —r^, — 'i-\ q% sin —^ -h. . ..
Cette dernière fonction vérifie les deux relations II ( « -H aK'jK', tK) =— H(«|K', t'K), \\{u-\-ii\^\\\, /K)=— e""^ "^'""lIC^IK', jK),
obtenues eu échangeant K et K' dans les formules relatives à l'addition d'une période, vérifiées par la fonction H(;/) ou II(^/!K,/K').
Ceci posé, dans le produit
analogue à ceux que nous avons considérés déjà à propos de H, et de 6, remplaçons u parf'«; soit/(w) la fonction ainsi obtenue
/(m) = e «^'II(/«1K, <K').
il.\ CIIAPITUK IV.
On vérifie aisément les deux égaillés siiivanlcs, conséquences dos relations fondamentales de la fonction H,
■ /{il -f- '^.K') =—/(»), /( f/ -!-•>./ K )= — c '^ /( If).
Ces relations sont identiques à celles que vérifie H(w|K', «K). Kn outre, les deux fonctions f{if) et H(?/]K', l'K) ont les mêmes zéros, savoir les valeurs de it données par la formule
iii = 9. ni K -f- 2 m'K',
itii bien
Il = — a »? t K -f- 2 « K',
nf et /? désignant des nombres entiers. D'après cela, le rapport
H(m|K', ïK)
est une fonction doublement périodique aux périodes aK et 2fK' et, d'autre part, cette fonction est partout finie : elle se réduit donc à une constante. Désignons cette constante par Ai. Nous avons l'identité
g-ÏKKii( j-„ I K, iK' ) = \iH(u\ K', f K ) ; on en déduit les suivantes :
e~4KK- e(à/|K, «K') = AH,(?<1K', iK), e~4KK'e,(/M|K, tK'; = A &i{u\K', iK), e~Ï^Ui(iu K,iK') = A e(u\K', iK).
Il suffit pour cela de remplacer dans la première de ces identités ;/ par u + K', dans la deuxième u par u + iK, dans la troisième u par u -+- R', en se reportant aux formules du n° 76 et à celles (pron en déduit par l'échange de K et K'.
81. Diverses notations usitées pour les fonctions de Jacobi. — M. Weierstrass emploie les notations suivantes reproduites dans
iiTLDi-: s l' K c I A L I-: i)i:s notations di: j a coin, lo Traité des fondions ellipliques de Halphen
37i(i') = ly/c] %\n-v — i. (/y'J siii3-('-f- ■x\fcj^'> «in jr. c — . Sî^2(t') = "i-S q COSTTt' H- lyj q^ cos3Tr^'-t- 2 v/*/^* cos JTf -h ,
2^3 (P) = I -I- 2(7 COS2 7rP'-f-2(7'» COS/iTTf H- 2^» COsOtTI-t-. 2fu(«' j = I — i-q C0S2-t^ 4- •> /jr'' C0S4~l' — •i.q'^ C0s6-l' — .
On a seulement conservé ici la lettre q au lieu de la lettre h qu'emploie M. Weierstrass pour désigner e"^'^.
La correspondance entre les deux notations est donnée par
"("> = -(.rR)-
''<"> = '«(;rk)-
Jacobi, dans ses Leçons [Jacobi's gesammelte Werke, t. I, p. 497)7 met ^^{a^q) où l'on mettrait, avec la notation de
M. Weierstrass, ^a(~) et supprime l'indice o. Briot et Bouquet
désignent les périodes 2K et liK' par tu et oj'; ils emploient d'autres notations reliées à celles de Jacobi et à celles de Weierstrass [)ar les formules
8^2. Relations entre les ^ et les ^. — Ces rclalions sont
ou bien
crCw
3'(to'-4- /<)
e-(r,+ri')« =
ll'(o)
iii(j"),î<:j"
La première de ces relations a été démontrée (n" 21). Les autres s'en déduisent en tenant compte des formules relatives à l'addition d'une demi-période, et en remarquant que a*,, 3*2, ■i^i deviennent égales à i pour u = o.
