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•>o4 CHAPITRE V

On (Jcdiiit do là

V désiffnanl une coiislanlo arbitraire.

D'autre pari, on a

P- = ABC (sn^^-sn-.),

<in, d'après une formule déjà rappelée,

^ , (A — B)(D — G) 02(0) H(-r — v)Y\ (t + p) '"^ ' ~ ABC A- 02 (i^ ) ©H ^ )

On voit alors que o-e-'/. est le carré d'une fonction uniforme et

l'on obtient

<3n posant

ABC Â-02((^) D[jl2 ke^ç)'

la quantité \Vi- B(o) est égale à H'(o), comme il résulte de ce que

la limite de • est i pour ?/ =r o : on a donc

Il '

de sorte que, en définitive, l'iierpolliodie est définie par l'équation

l'^ii se reportant aux Aaleurs de sn-(^, cn-c, dn-t^ en fonction

des données, on voit que l'on a

I < sn2p < — .

D'après cela v — R est purement imaginaire. Cette remarque

nous conduit à poser

KTIDK DKS V.VLKt lis HKKLLKS DE SIU/, (II//, illl//. lo'j

et à rem|)lacL'r ».' |)arc('llc valeur dans ré((tiali()ii de riu'i[)olliodic. (^elle cMjiialioii dcviciiL

rt est purement imaginaire et À est réel, v est une constante arbitraire réelle.

130. Vitesses de rotation autour des axes fixes. — Un |)oiiit nt de riierj)olln)ïde et 1 extréinitc- (•) de la rotation instantanée sont en ligne droite avec le point (i\e O et l'on a vu qu'on a

lù = 0//ty//t, où 1^^ h ^= [J-^'D,

Si donc, on apj)ellc />, et q, les projections de la \itesse angulaire sur les axes fixes Ox,, Oj^i, on aura

ou bien

C'est à un changement de notation près la formule donnée par M. Hermite {Sur quelques applications des fonctions elliptiques, p. .3.5). L'argument to (|ui figure dans la formule de ^1. Hermite et l'argument a employé ici sont liés par la relation

131. Les neuf cosinus déduits de l'équation de l'herpolhodie. — Comme on l'a déjà remarqué (n" ll28), A/?, B/^, C/- sont les projections du segment Oa-= /= Djji. sur Jes axes mobiles. On a donc

d'où

ï'= QsriT,

•206 CIIAIMTIU; V.

Nous allons d'abord exprimer P. Q el R en fonction de Targunient i' qui lli^urc dans l'équation de riicrpolhodie. On a

puis ridenlité

P- cn-T -+- Q- sn'-: -f- R- <Iri--: = I,

où l'on lait successivement cn-T= o et dn--:=^o, fait connaître H et P; on trouve ainsi

„ fl n ('

de sorte que (n° 129) a est purement imaginaire

"' ~ ' ei(«)0(T) ' "'' ~ 0,(a)0(-:) ' "'' ~ ei(a)e(T)'

Pour calculer les autres cosinus nous prendrons comme inconnues

Entre ces inconnues, on a les équations linéaires

des deux premières, on déduit

ik

■' = — -Tj dit' CIIT,

Y = /i sut' SOT,

OU bien

, H(OH(t)

et, en posant

■'5.nTT ZI IV,

■-^"-/..^/o.TL-i-lX

et, en portant ces valeurs dans la dernière équation.

KTiDi-: DES vAi.Kius hk i; L M: S DE sna, ciw/, (lii«. 207

Si 10)1 liciiL conij)le des éj^alilés

Ap — /y, \ir/ = /-;■, (]/• = /'f.

on pont <'ciii"C cette équation

(a- tp)|^ -^— . J =p^-tq^.

Il reste à exprimer en fonction de a les quantités

on peut le faire en se servant des relations suivantes

./in

QR .sn «' dnf

on a ainsi

'H,((^)e(p) ~~'H(a)e,(a)' . Hi(a)Q(a)

v'(b-i)-^vY'a-^)

__ H,('r/)e(-a)HirT)e(T)-f-H(a)ei(a)HrT')e,('T)

Si Ton divise les deux termes de cette fraction j^ar Q-(a)S-(-z) et si l'on y introduit les fonctions sn, en, dn, elle devient, à un facteur constant près, égale à en (7 — n) : sa valeur exacte est

e(o)H,(o)Hi(T-ro

.>.o8 EXERCICES SUR LK CHAPITRE V.

et Icgalllc qui clétînil a -t- /ji peut s'écrire

.„ e(o)H,(o)H,(T — «) . U'(o) Hi(z — a) ,, ,

En suppriuianl les facteurs eoniniuus, el remarquant que

— -^ el ^ , sont deux (luantites eirales a v A\ on a eniin e (o) B|(o) ' o \ '

et l'on en déduit a'— f'[i', a"+ i[i".

Réunissons les valeurs des neuf cosinus

.U(a)Ei(-

Hi(«)H(t) e,(a)e(-r) =

e(ff)9i(T) e,(«je(T)'

.,,^ e(o)e,rT-«)^,,,^^,^,