EXERCICES SLR LE CHAPITRE V

I. Lij^nes géodésiques de la catcnoïde (surface engendrée par la révolution dune chaînette autour de sa base).

L'axe de révolution étant pris pour axe 0.3 et /• désignant le rayon d'un |)arallèle on a, pour Téquation de la surface,

r^^ij-^e-^.

On trouve que la projection des lignes géodésiques sur le plan des xy a pour équation en coordonnées polaires

b désignant une constante arbitraire et l'angle G étant compté à partir de la direction asynnptolique.

EXERCICES Sl'ft LE CHAPITRE V. 10[)

1° Soit b l^ a. En posant

a — snO, /• = — jr.

snO

Donc

Telle est l'équation de la courbe.

2" Soit 6 < a. En posant

ch' . b

Donc

sn-r k

3° Si 6 — a, on est dans un cas de dégénérescence, k = i :

2. Les neuf cosinus qui servent à définir la position relative de deux trièdres trirectangles peuvent s'exprimer en fonction de trois paramétres a, II, X au moyen des formules suivantes

■ H(a)H(«) , .ei(o)ei(».-a) .^

Hi(a)Hi(tO e(o)9(« — g) .^

"' '" ei(a)0i(«)' ^ + *P - 0i(a)0i(a) ^ '

Q{a)Q{u) V', /S",, Hi(o)Hi(^-a)

dans lesquelles on suppose 11 et X réels et a purement imaginaire. Il suffit de vérifier

Y' + ï'' + ï"-=i, (a-4-tP)2-t- (a'+iP')2-4- (a■'-^^p")2=o,

Y(a + tp) +Y'(a'+ip') -■- Y"(a"+ tp") =^0,

(a -H tp)(a - tp) + (a'-H ti3')(a'- /;3') + (a"-i- ^•13")(a"- i^") = a.

(') Greeniull, Fonctions elliptiques, p. i38.

A. ET L. i4

aïo EXERCICES SLR LE CHAPITRE V.

Gela résulte dos idenlités suivantes

eî(a)eî(«) — Hï(a)H2(«) -= B^a) S^u) - UHa)}î^{u),

H,(o)H,(f< — rt)e,(a)e,(«) — e,(o)e,(« — a)Hi(a)Hi(«)

= e(o)e(« — a)H(a)H(if), ef(o) e,(» — a) e,(K-^a) = e^a) e2(M)-^H2(a) ll\{u), eî(o) 6(u — a) e{u-^a) = e\{a)e\{u)~ima)n\(u),

H\{o)Hi(u — a)Hiiu -^ a) = ei{a)e\iu) — 6^{a) SHii),

et d'une autre identité qui se déduit de la première de celles-ci en y remplaçant a par o et u par u — a.

IJ. Vérifier que les valeurs précédentes des neuf cosinus satisfont aux relations

(a"- tp")(a - iS) = - 7"y -- «t', (a — i-p) (a' — ip') =— 7y' ^ *'ï".

équivalentes au système suivant

a" oc + p" p -^ y"*.' = o, y' = ='" P - P" «>

aa'-H p3' -t- yy' = o, y" = ^P' — ?^'-

(D'après cela les deux trièdres dont la position relative est définie à l'aide de ces cosinus ont même disposition.)

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. DISCRIMINANT NÉGATIF.

I. — Lr discriminant est négatif. Valeurs réelles de pu et de p' u.

132. Objet de ce paragraphe. — Supposons qu'on ait pris pour périodes primitives d'une lonclion pu les quantités imaginaires conjuguées

oio désignant une quantité réelle et to'., une quantité purement imaginaire; nous allons montrer que les invariants sont réels, que la valeur de la fonction est réelle quand l'argument est réel ou purement imaginaire et nous en déduirons que le discriminant bl— 2753 est négatif.

133. Les invariants sont réels. — Les invariants sont donnés par les égalités

60"" j^ (amwi-T- antoj)^ ' 140 .^ (2 m wj 4- 2/10)3)6

Comme les quantités

2/?lWi -+- 2/10)3, •>. /?lO)3 -r- 2/lWi

sont imaginaires conjuguées, on peut, dans chacune des séries précédentes, associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc les invariants g2 et g^ sont réels.

13i. Arguments réels, purement imaginaires, imaginaires conjugués. — Arguments réels. — De même dans la série

^" «2 2d L(" — ^v)-^ iv^]

(V = 2 /« o)i -t- 2 n 0J3, ^j=o, rr:i,±2, ±3, w = o exclus.

si Ton suppose u réel, on peut associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc, pour un argument réel, la valeur de la fonction pu est réelle. On voit de même que la dérivée

est réelle quand u est réel; elle garde un signe constant quand // varie de o à Wo, puisqu'elle ne devient ni nulle ni infinie dans cet intervalle, et comme elle est négative pour u positif et très petit, elle est constamment négative quand u varie de o à CO2 ; pu va constamment en décroissant depuis + 00 jusqu'à pwo.

Argument purement imaginaire. — Pour voir si la fonction p{iu) est réelle quand u est réel, remarquons que l'on change seulement le signe de la fonction pu quand on multiplie par i l'argument et les deux périodes. On a donc

p(«< I toi, C03) = — J3(h| iWi, itOs), OÙ

puis, comme on peut toujours changer le signe d'une période,

f)(m| wi, tM^) = — ^{u I i'wi, — twa).

Pour la fonction du second membre les deux périodes sont imaginaires conjuguées. Si donc u est réel on est ramené au cas déjà étudié.

En prenant les dérivées des deux membres de la relation que nous venons d'obtenir, on trouve

iji'iiu I wi, (1)3) = — J3'(« 1 i^u — twa).

Les deux égalités précédentes montrent que si u est réel j3(fa]tO|, 0)3) est réel et p' (m I W), 103) purement imaginaire.

Ces égalités peuvent s'écrire, en mettant en évidence les invariants g2 et g-i au lieu des périodes ^^i^ et (03,

P(i"; g2, g3) = — piu; g2, —gz), ip'{iu; ffo, ^3) = — p'(«; g-2, —^3);

FONCTION p A PKRIonES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2(3

CCS formules résullcnl de ce que, si l'on remplace

— iOJs,

dans les séries qui donnenl ^2 et g^, g^ ne change pas cl ^3 se reproduit multiplie par — i .

Arguments imaginaires conjugués. — A deux valeurs u et Uq imaginaires conjuguées de l'argument correspondent, pour la fonction, deux valeurs imaginaires conjuguées. En effet, on a

Il s'agit de montrer que, si Ion change i en — i dans l'expression de jDMoi cette expression se change en pu.

Si l'on change i en — i dans la deuxième série on trouve, en désignant par (\o la quantité imaginaire conjuguée de (V,

~u- "^ 2à [(« — wo)- ~ ^ J ' il reste donc à vérifier que l'on a

^ [(" — "')■' ~ »^J ~ ^ L< K' — Wq)-^ 'wll cela résulte de ce que la quantité imaginaire conjuguée de

est la quantité

et que, dans chacune des sommes précédentes, m et ?i prennent toutes les valeurs entières {w = o exclus). On peut donc passer de la valeur de p u à la valeur de j) Uq en changeant i en — i; ces deux valeurs sont imaginaires conjuguées. C'est ce que nous voulions vérifier.

135. Parmi les racines ci, e-y, e^, l'une c-, est réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. Le discriminant est négatif. — Nous

pouvons maintenant vérifier que les racines du polynôme en pu

sont Tune réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. Ce polynôme étant égal à (p' u)-, ses racines sont

ou bien

(0)2 lo', \ / Lût w'o \

On voit déjà que la dernière est réelle, puisque Wo est réel; la première l'acine peut s'obtenir en prenant la formule d'addition

p(u-\- v) = — pu — pv -h ^„ *^ ,

et en y faisant

pu et p' li sont réelles ; pv est réelle et p' v purement imaginaire. Donc e, = j3C0) est imaginaire. La même formule montre que e3=j3(03 est la quantité imaginaire conjuguée de e< (ce qui devait être puisque co, et 003 sont des quantités imaginaires conjuguées.) Puisque, sur les trois racines C), Co, <?3, il y en a une réelle et deux imaginaires conjuguées, le discriminant ^2 — 27^3 est négatif.

Distinction des racines imaginaires par le signe du coefficient de i. — Nous pouvons distinguer les deux racines imaginaires en considérant, dans chacune d'elles, le signe du coefficient de i.

La racine e< s'obtient en faisant u = — ? t» = dans la va-

leur précédente de p[u + v) ; le coefficient de i dans le résultat a

le signe de .■ p' up'v^ et, comme p' u est négatif pour u = — ?

le signe à considérer est celui de

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2l5

comme l'argument— est purement imaginaire, servons-nous de la formule

nous trouverons

Or le signe du second membre est le signe +, puisque, quand // varie en restant réel de o à " ' » p'(//;^'o, —^3) est constamment

négatif.

Donc, pour la racine c, , le coefficient de i a le signe -r ; pour la racine ^3, le coefficient de i a le signe — .

Remarque. — On a, quel que soit «, En effet, la période ato, étant égale à coo— co!,, on peut écrire

p ( J< -f- w', ) = p ( ?< -f- w'j -h 2 Wl ) = p ( ?< 4- 102 ).

136. Valeurs de a pour lesquelles pu et p' u sont réelles toutes les deux. — Nous avons vu que, quand u croît de zéro à Wo, pu et pu sont réelles toutes les deux : p' u varie d'une manière continue de — 30 à zéro, pu décroît constamment de -t- 00 jusqu'à ^2 = pwo. Nous voulons maintenant définir toutes les valeurs de // qui rendent réelles pu et p' u. ('considérons la relation

P'2(m) = Mpu — ex){pu-e.){pu — ei)\

si pu est réel, le premier et le troisième facteur sont imaginaires

conjugués, leur produit est positif : pour que p' u soit réel il faut

que l'on ait

puy- e.,.

Soit a une valeur réelle plus grande que Co ; il y a un argument réel t', compris entre o et 0)3, pour lequel on a

toutes les autres solutions de celte équation sont données par la

)l6 CHAPITRE VI.

formule

// = ±: r -f- 2/?iwi -f- 2/10)3,

1)1 Cl /? étant des nombres entiers.

On conclut de là que, si un argument u rend réelles la fonction pu et sa dérivée p'w. on peut toujours, en ajoutant des périodes, le ramener à être réel et compris entre — w^ et -f- Wo.

II. — Expression des périodes par des intégrales définies de la forme

NORMALE DE LeGENDRE, DANS LE CAS DU DISCRIMIN.ANT NÉGATIF.

137. Expression des périodes en fonction des invariants. — Les périodes étant, comme plus haut, définies parles égalités

2 W 1 ^= W2 (u'-i ' 2 0)3 = tOo -f- CO 2 ,

on a vu que, si u croît de o à coo, pu décroît constamment de 4- oc à go. L'équation dilférentielle à laquelle satisfait la fonction x = pu étant mise sous la forme

au = ,

SlÂx' — gtX — gi

on obtient, en faisant croître ?/ de o à Wo, l'égalité

gtX — gz

qui donne l'expression de coo en fonction de g-y et de ^3.

Pour avoir l'expression correspondante de -A remarquons que si l'on remplace les périodes 2to, et 2103 par les suivantes

2Ja)i =■ — •- Hx).2, — 2ICO3 = -T^ tu).),

il faut remplacer

^2, gi, gz, <?2

par

-f-> gti — gZi —Ci.

L'égalité précédente devient, par ce changement,

-g-lX-^ g3

FONCTION p A PICIUOIIES IMAGINAIRES CONJUGUEES. IfJ

138. Les intégrales donnant les valeurs de m-, et ~ ramenées à

la forme canonique de Legendre. — L'inlégralc f[ul donne la valeur de (Oj peuL s'écrire

i.ùi =

\/{x — ei){x — ei){x — es)

Faisons le changement de variable

l'intégrale devient

0 v/(--^- e-i— Cl )(---!- e2—<?3)

Les quantités Co — e, et e^ — c-i sont imaginaires conjuguées, l'osons

e-i — 6.3 = p(cos^J/ -^ { sin'i) P > o,

e% — ei = p(cost|y — ^'sin']/) o < <^ < x.

Ayant pris p positif, nous pouvons choisir <b entre o et -, puisque et désigne la racine imaginaire pour laquelle le coefficient de ;' est positif. Le polynôme bicarré qui se trouve sous le radical peut alors s'écrire

z'*-\- IZ-p COS({/ -f- p2 — (^2, p)2 4^2psin2-^,

de sorte qu'en posant

^ = f/p, sin2^ = k\,

on a

le coefficient difTérentiel de la nouvelle intégrale ne fait que changer de signe quand on pose

et que l'on néglige ensuite l'accent. On en déduit

r^ dt^ r*

2l8 CHAPITRE VI.

puis

idt

et il n'y a plus qu'à poser

sino ou / = lane -> pour obtenir l'égalité

Jo /i — ■^■? sin2cp

dans laquelle l'intégrale est de la forme normale de Legendre (^voir n° 111).

Transformons de même l'intégrale

i\J{x -\- e y){x -^ et){x ^ es)

En faisant le changement de variable

X = — ^2-+- ^-, il vient

^{^--r-ei—eo){z-i~ es— Cj)

puis, en introduisant, comme dans ce qui précède, le module et l'argument des quantités imaginaires conjuguées e^ — e^i e-^ — 6-2,

^/(-;^+p)^-4^Vcos2^

Posons

nous trouverons

v/(f^-i-i)2-4>ti2r^

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES C0N31GUÉES. 219

et, en tenant compte de l'égalité

r' dt r-i

k\^ sin^cp

nous obtenons pour —^ une expression de la forme cherchée. Réunissons les deux formules qui viennent d'être démontrées

J v/i — A"ï ^in-'f

^^-X'tt

Aj- sin"-ç5

p et ^ étant définis par les égaillés

e=i — ^3 = p(cos4' -^ isin<{/), p > o,

eo — «"i = p(cos<^ — i sirnl>), o < 6 < t.

Ces dernières intégrales, dans lesquelles on fait

prennent la forme des Intégrales qui donnent K et K' dans le n« 108.

139. Variation du rapport — ^- — Des égalités précédentes on déduit

iW2

/•2 do

/ v/i-Af sin^c

Jo /i — /m^ siii^cp

et Ton volt que le rapport -7^ augmente constamment quand k\

croît de où i, car le numérateur augmente et le dénominateur diminue. Ce rapport est égal à zéro pour k\ = o, il est égal à +gc pour k'-^=z i; il passe donc une fois et une fois seulement par une valeur positive donnée quand k] croît de o à i.

On peut alors vérifier, en se servant des seules intégrales ci-

dessus, que, si les valeurs de toj et de -^ sont données, chacune des racines C|, fo, r-i a une valeur unique. En effet — ^ ayant une

valeur positive donnée, A^ a une valeur unique comprise entre o et I ; A'-f étant ainsi déterminé, l'égalité qui définit lOo, par exemple, montre que y/p a une valeur unique, le radical étant pris avec le signe 4-. Pour passer de là aux valeurs de <?i, e^, e-i remarquons que cosdi et siii'i/, définis par

cosij/ = A',2 — /if . sirnl/ = 2 A'i A'i, o < <{/ < •::,

sont déterminés sans ambiguïté. Alors les égalités

^i-i- «2-7- es = o, (?2 — €3= p(cosi}; -t- t sirn}^),

€-2 Cl = p(cos'^ — i siïi'^)

déterminent une valeur unique pour chacune des racines C), 62, e^.

III. — Retour a la fonction p a discriminant positif. Expressions

DES PÉRIODES SOUS LA FORME CANONIQUE DE LeGENDRE.

140. Les intégrales qui définissent les périodes ramenées à la forme canonique de Legendre. — Nous allons ramener à la forme

canonique de Legendre les intégrales qui définissent to et — > dans le cas où C), Co, e-^ sont réelles. ([ o//' n"^ o3 et o4). On a d'abord

d.r r^ " dx

J,, yj^x^ — g-ix — S^ Je,

\sj {X ~ e^){x — e<i,){x — e^)

Dans cette intégrale, faisons le changement de variable

g"- , ig'^dz ar = e.i -i- ^ » dx — — >

g étant une constante indélei-minée; l'élément de l'intégrale

devient

— dz

Dans le produit qui figure sous le radical le premier facteur se

FONCTION J) A PK RIO DES IMAGINAIRES CONJUGUEES. 221

réduira à i — z-, si nous posons

et le second fadeur deviendra alors (i — /i-z'-) en posant