L-, par exemple, étant définie par l'égalité
{a'-—Af- {b- — A)^ (c^— A)2
La valeur de 4L- s'oijlient en |)renant les dérivées par rapport à s des deux membres de l'identité
el en faisant ensuite 5 = ). ; on trouve ainsi
{a'-—l){b-i-l){c^—'/.) On a donc la formide , (X-hl)(X-v)
3o2 CHAPITRE IX.
191 . Les coordonnées )., a, v remplacées par des arguments elliptiques. Les coordonnées cartésiennes s'expriment par des fonctions uniformes de ces arguments. — Les valeurs de x, }', :; en lonclion de A, a, v conlienncnl desquanlilés irrationnelles par rapport à À, u, v; ce sont les valeurs que prennent les radicaux
quand on y renijilace s par A, a ou v. Mais nous savons que, si Fou considère une l'onction pu et les quantités d,, e^, e-^ correspondantes, chacun dos radicaux
V^ji u —Cl, v^ji a — e, , v^J"" « — ^3
peut être remplacé par une fonction uniforme. Nous sommes ainsi conduits à faire le changement de variahle
— s = Aj3u^B,
a"-— s = A(p'j — é-i), ^'2— s = A(p'j — Ci), c'-— s = A(p'j — ea),
rt^-f-
-Ae.,
ce qui donne
en posant
en ajoutant memjjre à membre ces dernières égalités on trouve 1 égalité suivante qui détermine B
rt2 L i2, c-^— 3B = o;
\) étant connu, e,, e^, e^ sont déterminés, à un facteur près de proportionnalité et les valeurs des invariants g.^, et ^3 en résultent. A reste indéterminé; nous supposerons A positif et nous le remplacerons par p- pour que l'écriture soit simplifiée quand nous extrairons les racines.
En définitive, les invariants de la fonction jd-j résultant des égalités
rt-— b- — c-
si l'on pose
A IM'LI CATIONS DIVERSES. '3o'J
on a
Remarquons de suilc que e,, e>, e-^ étant réels nous sommes dans le cas du discriminant positif.
Soient //, r, iv des arguments tels que j)//, pv, piv soient les valeurs de p'j quand .v égale )., 'x, v; comme les signes de
se déduisent immédiatement des signes de
on trouve aisément que les nombres
pu, e,, |ir, e-î, pw, e^
sont rangés par ordre de grandeur décroissante. D'après cela u et (V — tu' sont réels, r — (o est purement imaginaire.
Ce sont ces arguments //, r, w que nous voulons considérer à la place de À, iji, v.
Transformons les formules qui donnent x-, j'-, z- en introduisant ces arguments elliptiques ; elles deviennent
(Cl — e2)(ei — 63) {pu -- ei){pv — ei){pw — e.)
{62— ei){ei—e3) (P " — e3)(pi' — e3)ipiv — €3)
ie3—ei){e3—e.2)
On peut maintenant extraire les racines en se servant des formules du n" 48 : on trouve
px
cr,i<3',
Vj\ w
VjW
