C 11 A P I T R K IX

Les trois surfaces liomofocales à 1 ellipsoïde qui passent par un point donné se coupent ortliogonalcment en ce point.

Soit P(x,v. :■) le point donné, les normales aux deux surfaces X et |JL qui passent par ce point ont des cosinus directeurs proportionnels à

a'^ — [j. 0- — [x c- — |JL La condition pour que ces normales soient perpendiculaires est

^2 yi -2

Or, en retranchant membre à membre les deux égalités

et en supprimant le facteur \ — pi, on trouve la condition qu'il s'agissait de vérifier. Donc les deux surfaces \ et [j. se coupent orthogonalement au point P. On peut répéter le même raisonnement pour les surfaces A et v, ou ^ et v. La proposition est donc démontrée.

189. Coordonnées elliptiques. — On peut déterminer un point P de l'espace en se donnant les valeurs )., ui, v des paramètres des trois surfaces qui sont liomofocales à l'ellipsoïde donné et qui passent par ce point; A, [Ji, v se nomment les coordonnées elliptiques du point P. Nous avons déjà vu comment s'obtient l'équation qui donne X, [Ji, v quand x, r, z sont donnés. Calculons maintenant x^ y, z en supposant )>, [x, v donnés.

Dans l'identité

chassons les dénominateurs et faisons tendre s successivement

APPLICATIONS DINEUSES. 3o I

vers a-, (/-, c- : nous trouverons

^ ( a'- — l)( gi— iJi)( a'- — ^j) " {a^-—b^)(a^—c^) '

^ ' (^2— a''-}(b'^—c*-) , ^ (c2-X)(cî-iJL)(c2-v) ^

190. Longueur d'un arc infiniment petit. — Prenons les dérivées logarillimiqucs des deux membres des formules ci-dessus

dx d\ d\x di

X À — a- ;x — rt- V — a-

dy d\ d\i. d'i

y À — b- \x — 6- V — bdz dh d-x d'/

' z X — c- ;jL — c^ V — c^

el portons les valeurs de clx, dy, dz ainsi obtenues dans la formule

ds- = dx- -i- dy- -i- dz'^,

nous obtiendrons l'expression de ds- en coordonnées elliptirpies

ds'- = L2 dl'- -r- M'^ dix'- — \2 f/v2,