V. — Application a la théorie de la chaleur

192. Les surfaces homofocales à un ellipsoïde sont des surfaces isothermes. Chacun des arguments », r, w est un paramètre thermométrique. — Si l'on considère les points d'un espace en équilibre de température, pour chaque point la température T est une fonction des coordonnées de ce point et l'on démontre que cette fonction vérifie l'équation différentielle

On dit que les surfaces d'une famille sont des surfaces isothermes si la température est la même en tous les points de l'une de ces surfaces et ne dépend, par conséquent, que du paramètre qui détermine cette surface.

Il est facile de trouver la condition pour qu'une famille de surfaces représentées par l'équation

dans laquelle X désigne un paramètre vai-iable, soit composée de surfaces isothermes. En effet, si cela a lieu, la température T ne dépend des coordonnées x^ y, z que par l'intermédiaire de X.

APPLICATIONS DIVERSES. 3o5

Calculons d'aprrs celte remarque les dérivées de T pour les porter dans léqualion AT = o

dx ôX dx

dx^ ~ OA-i \dxj "^ dX ^'

d^Tv/ùiY /oiy /di\n dT /an o'^i d-^i\

Comme AT= o, on doit avoir

dn d^ d^ d^T

\ôx) ^ [dyj "^ [dsj 7k

Ainsi la combinaison des dérivées de A qui est dans le premier membre doit être une fonction de 1 que nous appellerons ^(À).

Si celle condition est satisfaite, pour calculer T il suffira d'intégrer l'équation

Appliquons ce qui précède aux surfaces (3) :r , ^ , .

a-— À ■ b-—A ' c- — X Nous poserons

Calculons d'abord (^^^ + (^) V (^^y.

En différenlianl par rapporl à :r la relalion (3) qui définil A en fonction deo*, >-, r, on trouve

^ r X- y^ z^ ~\ dl IX

3o6 CHAPITRE IX.

OU bien

et de môme

On lire de là

ax a- — À

ày

dz c2— X

\dxj ' \dyj ' \dz/ *'(X)

Pour avoir — -^ différenlions par rapport à .r la relation (4) qui

définit ^— : nous trouverons ax

^ (Jx- (a^— h)' dx ^ ^ \dx / «2— A

1 àl ,

OU, en remplaçant — par sa valeur,

et de même

Si nous ajoutons membre à membre ces trois identités, les termes du milieu disparaissent et il vient

et comme nous avons déjà trouvé

^ ->)[(ir-(iy-(Ê)>-.

on a en définitive

le second membre est une fonction de \; les surfaces

X — const.

sont des surfaces isolliermes.

On peut alors délermiucr une fonction de X

de telle façon que Am = o. Pour avoir cette fonction u, que Lamé

appelle le paramètre thermométrique, nous avons à intégrer

l'équation

du 2 /( X )

dî

En intégrant une première fois et en passant des logarithmes aux nombres, on trouve

en désignant le facteur constant du second membre par - pour

simplifier l'écriture dans ce qui suit. Remplaçons /"().) par le produit de facteurs linéaires correspondants et intégrons entre — yz et )., nous avons

I r dx

A est donc une fonction elliptique de u. Faisons comme au n'' 191 le changement de variable et de notations

«2 X = p-(p'J — Cl),

62— X = p2(pu — e,), c2— X = p2(jVJ — es),

la relation devient

»=rv "•' =r<^..

Jp 2/(p — e,)(p — e.jCp — es) J^

On voit qu'elle est satisfaite en posant

3o8 CHAPITRE IX.

)> est donc donné en fonction de u par l'égalité

On fera correspondre de la même manière un des arguments iet w aux coordonnées a et v.

Les surfaces représentées par les équations

dans lesquelles ^/o, <'oi "'o désignent des constantes, se coupent orthogonalement, puisque supposer, par exemple, que u a une valeur déterminée revient à fixer une valeur de À. On doit donc avoir

du dv du dv du di> dx dx ày ôy dz dz

et deux relations analogues.

Expression duds- en fonction des arguments u. r, w. — Dans la formule trouvée au n" 190

introduisons les éléments elliptiques : elle devient

4 ds^- = (p u~pv ){p u — pw) du''-

-^ {pv — p u){pv — pw) dv^ -\- {p w — p u){p w — pv) dw^ .

193. Équation de la chaleur quand les variables sont les arguments u, r, w. — Lorsque dans l'équation

rr-T d^T c)2T

ax- Oy- (Jz-

on fait le changement de variables

APPLICATIONS DIVERSES. SofJ

si les fonctions 'o, ■}, y sont telles que les surfaces obtenues en donnanl à u, f, (v des valeurs constantes sont orthogonales et si l'on a

l'équation transformée est

J ^ J ^!Z L ^ - Lî dû»" "^ iVP "5i^ '*' W- dw^ ~ ^'

L, M, N étant définis par cette condition que la formule définissant ds- est

Admettons, pour un instant, ce résultat et appliquons-le au cas où les nouvelles coordonnées sont les arguments elliptiques m, t", iv. ïNous trouverons pour l'équation transformée

{pu—pv){pu — pw) du-i

{pv — pu){pv — pw) dv'^ {pw — pu){pw — pv)(iw-^ ou bien

Vérifions le résultat que nous venons d'admettre : on a

o\ ôT du ^dT dv OT àiv Ox du dx dv dx ' dw <Jx

puis

d-^T dx'i

d^ du^

d'-T du dv

du dv dx Ox

c)T d^u Ou dx^

d^T dy^

rJ2T

~ àu^

(duy

d'^T du dv

Ou Ov Oy Oy

dT d'-u du ày^

dz-^

d^T ~ du-^

fàuy

t)2T du dv

du Ov Oz Oz

dT d'-u Ou dz'^

En ajoutant membre à membre ces trois égalités, en se rappelant que les surfaces

u — const., V = const., w = const.

3lO CHAPITRE IX.

sont orthogonales et que l'on a

Am = o, Ac = o, Atp = 0, on obtient

•^*rr[(5^j +(?;;) +(sj J

11 reste à vérifier que

[àrj '^WJ ' [dz)

et les deux expressions analogues se déduisent, comme on l'a annoncé, des coeflîcients du ds- exprimés en fonction de «, ç, w. Or

dx I \ày j \àz ) ^,d\ J Wdx j \dy J \dz

ou en remplaçant les deux facteurs du second membre par les expressions (5) et (8) trouvées au n° 192

\'dx/ ~\dy/ \dz/ ~ *' ( X ) ( À — a^ j ( À — 6^ ) ( À (s — X)(s — \x)( s — v)

Mais, comme

on a

.!,'( X)(X - a2)(À - 62)( X - c2) = (À - ,a)(X - v). Donc

\(?2T/ ' \dy/ \dz J ' {pu — pv)(pu — piv)'

le facteur o- se retrouve dans les coefficients de — - et -r-^- On a

donc bien la forme annoncée.

Ainsi, quand on prend pour nouvelles coordonnées d'un point les arguments elliptiques u, v, w, l'équation