AT

APPLICATIONS DIVERSES. 3ll

devient

194. Solutions dépendant d'une équation de Lamé. — Essayons de satisfaire ù i'équalioii précédenle en posant

F désignant une fonction pour le moment inconnue ; il vient

[ +(p«p.)fL!^F(a)F(.)=o.

Or si nous supposons que F('j) est une intégrale de l'équation dif- Icrentielle

où A et B sont des constantes, nous avons d''F(u)

du^

= {Xpu^B)F(u),

^^=(Ap..-.B)F(.),

et l'équation (9) se réduit à l'identité

o =F(u)F{i>)F{(v)[(pv — pw){\pu^B)

+ (P't'-P")(App-f-B)-+-(pj< — piO(Ap(i^ + B)]; par suite

AT = o.

Ainsi on peut construire une fonction T vérifiant l'équation AT = o, chaque fois que l'on connaît une intégrale de Téqualion

— - =(Ap-j-l-B)^,

où A et B sont deux constantes arbitraires. Lamé a démontré qu'en donnant à A une valeur de la forme n(n + 1), n entier, on peut

EXERCICES SUR LE CHAPITRE l\.

intégrer réquation au nioven des fonctions elliptiques pour des détcrniinalions convenables de B. Il obtient ainsi, pour chaque valeur de l'entier /?, des solutions particulières de l'équation AT = o, à l'aide desquelles il forme la solution générale de cette équation pour le problème que nous venons de traiter.

L'équation obtenue en faisant A = n{n -h i) s'appelle équation de Lamé. Nous reviendrons sur cette équation dans le Chapitre XI.