Relation entre les intégrales K et K

~ do ^r r^ d^

k- sin^o

Nous avons déjà remarqué que do l'équation diflerenlielle vérifiée par ^ = sn ( i^ ; A", g)

on déduit

ou bien

du

= gs/{i-z^)ii — k-^z-^),

ffiù = K.

On obtiendrait de même

rr — K

3l6 CIIAPITHE X.

Cl en divisant membre à membre ces deu\ égalités on trouve

Kj) ^.1) I + A-'

puis, en se reportant à la relation (2') entre les modules,

198. Calcul de K quand A est donné. — Concevons qu'on applique plusieurs fois la transformation précédente, on trouvera successivement

K(n-i) = K;„) (l -+- kn ),

puis, en multipliant membre à membre toutes ces égalités,

K = K;„)(i + A-(„)(i ^- A>2)). ..(14- A-(rt)),

comme on a

do

K(„)= Ç , '"^ => f'do=-,

on a aussi, quel que soit n,

/.„ est toujours positif; le produit qui est dans le premier membre va donc constamment en croissant quand n croît, et comme il est constamment inférieur à R, il tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Il en résulte que A\„^ tend vers zéro et par

suite que K(„) a pour limite '-• On a donc

Cette formule est utile lorsque l'on veut calculer la valeur numérique de K, en supposant k donné. On la met sous une forme plus commode pour les calculs numériques en posant

k = sinO,