TRANSFORMATION DE LANDEN

195. Division par deux de la période aw. — Considérons les fonctions de Jacobi

construites avec les dcnx périodes 2to, aw', et en même temps les tondions

Il(«j^o/), II,(»h,cu'), 0(«

— , w' ), 6i( Il

construites avec les deux périodes o) et ato'. On a entre ces fonctions les relations suivantes, dans lesquelles A désigne un facteur constant,

I II (w -, w'j = AII(«)H,(a),

élu -, iu'j = Ae(«)ei(a),

H,(„]^„') = An,(„^^)H,(„-A"),

La première de ces relations se démontre en remarquant que les fonctions

II (a ^, w'") et H(M)n,(«)

ont relativement aux périodes lo et 2co' les multiplicateurs définis par les égalités

f{U-hi0) =:-/(m),

/(m + 2w')= — e w /(iO

et admettent les mêmes zéros dans un parallélogramme des périodes : le rapport de ces deux fonctions est donc une constante. Les trois autres relations se déduisent de celle qui donne

H(w|-> co'j en j changeant successivement u en

tu H

196. Relation entre les modules et entre les multiplicateurs. — Soient A- et ^ le module et le multiplicateur correspondant aux périodes 2to, ato'; et soient Aj,;, ^(,) le module et le multiplicateur correspondant aux périodes w, aw'.

On a, d'après la définition du module et en tenant compte des relations (i),

Ad) =

Mais si, dans les formules du n° 75, relatives à l'addition delà demipériode oj, on tait u = — - j on trouve

on déduit de là successivement

cin — = v/c , cil — = wk su — > sn

D'après cela

Cette relation peut encore s'écrire

— A"ni —

TRANSFORMATION DE LANDEN. 3l5

D'après la défini lion même du multiplicateur (n" 92), on a

La valeur de g^\) peut s'écrire successivement

I H'(o)H,ro)

ffii)-

le

et, en remplaçant /.f,) par sa valeur tirée de (2), on trouve entre les multiplicateurs g et ^(,) la relation suivante

A j)arlir de maintenant nous supposerons les quantités to

"-' /Il <'t — réelles.