EXERCICES SUR LE CHAPITRE X

Division de la période aw par un nombre impair n. — En posant avoc Jacobi '^{x) = 6( — ^ 1 vérifier l'identité

?:{x)?j (x -{ \- • '?j \ X -^ ( n — i)— ^ = C?j(nx, q"),

où l'on suppose que, 2r(:r) correspondant aux périodes 2w et 20)', 2?(j", </")

2 to correspond aux périodes — > 2w', et où C désigne un facteur constant.

On peut remarquer que le premier membre d'une part et 'b{xx, q") d'autre part sont deux fonctions qui admettent les mêmes multiplicateurs pour les périodes 2(,t>, 20/ et qui ont les mêmes zéros dans un parallélogramme des périodes.

On a une vérification intéressante de l'identité précédente en considérant le produit infini qui donne ?j{nx, q"), savoir

C?j{nx, q") = (1 — iq"- co's'inx -^ </-")

X (i — iq^"^ coiîtix -h q^"){i — 27*" cos2nx -i- <7 '*>"}... ,

et décomposant chaque facteur de ce produit d'après l'identité suivante

3i4 EXERCICES Sun LE CHAPITRE X.

(ihcorènie de Cotes)

I — iq"^ cns2n.v -(-^-" = 1 II — T.q cos2 (a- H ~ ) "*" ^'

pour

ou, ce qui revient au même puisque n est impair,

D'après cette vérification l'identité résulte de ce que, dans un produit infini absolument convergent, on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué et réciproquement.

Vérifier la formule

où 2/1 (x) désigne la fonction II | ^ '■■ ) , G' une constante et n un nombre

impair; de plus '^j{x) correspondant aux périodes aw et 2<x>', ?Ji{nx, q")

correspond aux périodes — . 210 .

Des formules des deux exercices précédents déduire la suivante

/•inK''ï)j" -, A ^ 2K 2K/ 2-\ jK r 2-1

su ( , A:'"' 1 = C sn —- x^n — ( x^ 1 • • • -n — x-f-(n — i ) — ,

eu Ion suppose que A"' et Iv "' correspondent aux périodes — j 2w comme k et K correspondent à 2aj et 2w' et où C a la valeur constante

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE SECONDE ESPÈCE.

200. Définitions. — Dans plusieurs questions de IMécanique el de Physique nialliémalique, on est conduilà étudier des fonctions uniformes de if, n'admettant à distance finie d'autres singularités que des pôles et se reproduisant multipliées par des constantes a ou u.' quand on ajoute à a l'une ou l'autre des périodes ato et ato'. L Une quelconque de ces fonctions F(u) vérifie donc deux relalions de la forme

F ( j« -t- 2 w j = iji F ( a ), F ( « -t- 2 0/ ) = •/ F (u).

M. Hermite, qui a fait l'étude des fonctions de celte nature (Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Gaulhier- Villars, i885), leur a donné le nom de fonctions doublement périodiques de deuxième espèce; ces fonctions se réduisent aux fonctions doublement périodiques ordinaires ou fonctions elli|)liques, quand les deux multiplicateurs constants ijl et jjl' se réduisent à l'unité. Quand les multiplicateurs >j. et a' seront donnés, nous appellerons les fonctions telles que F(u), fonctions aux luultiplicateuis constants u. et ;/; les fonctions elliptiques sont alors des fonctions aux multiplicateurs i et i.

Les relations

F ( « 4- 2 w' j = jjl' F ( k )

entraînent évidemment la suivante où m et n sont des entiers positifs, négatifs ou nuls :

F ( « -H 2 m fo + 2 « w' ) = [y."^ a' '' ¥{u). Il en résulte que, si la fonction F(w) admet un pôle u^^a, elle

admet comme pôles, au même degré de imillipHcité, tous les points homologues

Si le résidu relatif au pùle a est A, le résidu relatif au pôle a„,,„ est li-^^ti.'" A. De même, si la fonction ^{u) admet un zéro u=^ b, elle admet comme zéros, avec le même ordre de multiplicité, tous les points homologues.

Exemple. — Voici quelques exemples de ces nouvelles fonctions. Soient A, a et \ des constantes, la fonction

est une fonction aux multiplicateurs