IT.'X

2/Ui'

En effet, les relations fondamentales

}i{u — lOi) = — U(ii ), ïl{u-{-2u} ) = — ]i{u)e w

donnent les suivantes :

/(« -t-aw) =/(M)e2/w^

f{u-\-itx,') =f(^u)e w

La théorie du pendule sphérique nous fournit un autre exemple de ce genre de fonctions. Nous avons trouvé, en effet, pour x-\-iy une expression de la forme suivante (p. 93)

z- Il

A, a, b, A désignant des constantes. Or, d'après les relations fondamentales

C(«-r-2aj) = — É'2'"/«+w) 3' K, ^(u -+- 2w'j = — e2'i't«+w')^M,

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 827

celle fonclion z> vérifie les relations

(f(u -h iiu') = e2i'(a-6)+2Xw' cp(«); c'est donc une fonclion aux multiplicateurs constants

U = e2Y)'(a— 6)+2Xw'.

Dans la théorie que nous allons développer, nous supposerons les multiplicateurs y. et jjl' donnés et nous formerons les expressions analytiques des fonctions qui admettent ces multiplicateurs. M. Hermile a indiqué, pour ces fonctions, deux formes principales correspondant aux deux^ formes fondamentales des fonctions elliptiques.

L'une de ces formes donne la fonclion comme le quotient de deux produits de fonctions H ou a* : elle met en évidence les zéros el les pôles de la fonction. L'autre forme est analogue à la formule de décomposition en éléments simples; elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes.

Les seuls éléments analytiques nécessaires pour cette théorie sont les fonctions H ou a*.