DU TRADUCTEUR

Les premiers livres des Principes mathématiques ctoieut connus k Lisbonne , si je me le rappelle Lien , dès 1782 : c’esl à peu près à celle époque que M. daCunha (i) les composoit el les faisoit imprimer k l’usage du col- Ic'ge royal de Saint-George, dont il étoil alors le directeur. On les y expliquoit sous sa direction, au fur et à mesure qu’ils sorloient de la presse. iMais ce college ayant essuyé des vicissitudes qui enlraiisèrent la suppression de l'emploi que AI. da Ciinlia y occupoit, l’impression du reste de son ouvrage éprouva des retards, et ne fut terminée qu’en 1 nS'j : il eu eorrigea la dernière épreuve la veille même de sa mort. On doit regretter que les infortunes de toute espèee, ainsi que les souffrances presque continuelles qui l’affligèrent pendant les dernières années de sa vie, ne lui aient point permis de publier également plusieurs autres ouvrages qu’il a laissés dans ses papiers, et que scs amis estiment comme autant de chefs-d’œuvres de goût et de profondeur» Parmi ces ouvrages, il en est quelques-uns qui formeroient peut-être l’introduction la plus digne de celui-ci î tels je regarde ceux qui ont pour litre: Discours préliminaire sur les premiers éléments de géométrie ; On

(1) Professour de malliemaliques Tunivexsité de Coimlxic, qo k Lishonue , en nion en 178-.

powcrs and logarithms; Sur les racines; Sur rinjîni mathématique ; Contre la me'thode des premiers et der~ niers rapports des quantités naissantes et évanouissantes de Newton; Préface de la théorie des Jluxions , et autres, dont je possède la plupart des manuscrits autographes. Il sembleroit donc qu’il eût été' de mon devoir d’en insérer ici quelques extraits : mais, d’une part, j’estime trop les originaux, pour oser les mutiler mal à piÿ>pos; et de l’autre, j’ai quelque espérance de pouvoir les faire paroîlre bientôt, avec une notice de la vie de l’auteur, écrite par un de ses meilleurs amis. En attendant, j’ai cru qu’en me bornant à la traduction du seul ouvrage de M. da Cunba, dont il a pu achever la rédaction , je rendrais quelque service à sa mémoire et au public. Puisse l’idée que je me suis toujours faite du travail de mon compatriote, n’être pas une simple illusion de l’amitié !

Il y avoit déji, avant lui, une quantité prodigieuse de livres élémentaires, destinés aux écoles premières de mathématiques; la vie de l’homme seroit trop courte pour les lire tous avec attention : mais il paroît que les uns éloient trop volumineux, les autres trop résumés , et tous plus ou moins défectueux sur l’article le plus essentiel ; je veux dire, sur la méthode de démonstration. Aussi des géomètres du premier rang ne craignoient pas d’affirmer que l’on manquoit encore d’un vrai livre classique de mathématiques pures. Apparamment que les préceptes ne venant jamais qu’après les chefs-d 'œuvres, en quelque genre que ce puisse être, les véritables conditions de cet intéressant problème n’étoient pas encore bien arrêtées. Quoi qu’il en soit, l’ écrivain qui, en s’appe-

saillissant sur tonl ce qui lui tombe sons la plume , ne laisse au lecteur un peu instruit, que la peine cVen retrancher les longueurs superflues; celui qui tantôt paroît s’adresser à des enfants fre'qnentant des écoles publiques, tantôtô des amateurs isolés, tantôtà des géomètres profonds ; ou qui , dans la môme page , mêlera quelque • '

fois des analogies imparfaites avec des raisonnements exacts ; ces écrivains, dis-je, ne sauroient faire le livre classique dont on parle ; car il est naturel que l’on doive s’y assujettir à des unités de plan, de style et de méthode, à peu près comme dans certains autres ouvrages on tient à celles d’action, de temps et de lieu. Or, il me paroit que celui de M. da Cunha ne laisse rien à désirer à aucun de ces égards. D’abord , il ne présuppose que des élèves laborieux , conduits par un répétiteur sensé; le style en est toujours conforme à ce premier point de vue; la méthode de déduction que l’on y trouve au commencement, on la retrouve partout jusqu’à la ün, depuis la première proposition d’Euclide, jusqu’au fameux problème des isopérimètres; et 'la chaîne de principes qui y lie ces deux extrêmes, me paroît la plus courte et la plus solide qui puisse servir de (il régulateur, et à l’élude du disciple, et à l’explication du maître. On auroit donc tort de vouloir ici de plus longs développements et des applications k fantaisie: cela regarde ceux qui enseignent. Il est clair que l’auteur, en cherchant à associer dans un même volume, sans lacunes ni répétitions, la sévérité de l’antique géométrie, àla rapidité des calculs modernes, n’a en principalement en vue, que d’y tenir en haleine l’attention des professeurs autant que celle des élèves ; car le perfectionnement des uns

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p’inleresse pas moins le public que les progrès des autres. Il avoit observé, en outre, que l’on ne gagne rien à surcharger les livres élémentaires, de calculs à moitié' faits J que le commençant, au lieu de vérifier ces calculs, la plume à la main, se contente, pour l’ordinaire, de les parcourir des yeux. Ce n’est donc pas non plus à caprice ni à stérilité, qu’il faut imputer à notre auteur ce laconisme qui caractérise son texte, et que je me suis fait un devoir de conserver dans la traduction, autant que Je l’ai pu, et que me l’a permis la différence des deux langues. Les jeunes gens n’ont que trop d'occasions d’apprendre à délayer les moindres choses dans beaucoup de mots, sans qu’on leur en donne des leçons dans les livres mêmes où il scroit si convenable de les préserver de ce mauvais goût. II ne s’agit donc ici que d’une série de raisonnements exacts, exprimés par le plus petit nombre de phrases possible; le reste, je le répète encore, appartient à des leçons orales.

Mais c’est surtout à l’égard de la méthode de démonstration constamment suivie dans le cours de ses principes, que l’auteur me paroît avoir laissé bien loin derrière lui tous ceux qui l’ont devancé dans la même carrière. Plus de cette mauvaise métaphysique que M. d’Alcmbert appeloit métaphysique alambiquée, et qui infesloit encore de son temps certaines branches des mathématiques pures. Notre auteur est le premier qui en ait assujetti l’enseinble à un seul et même art de raisonner, à cette règle de logique dont nous avons parlé ailleurs (i), et qu’il

(i) Supplément à l.i traducliuu de la gcumélric d’Euclide, de M' Poyrard, note i",

avoit piiîsee, à l’exemple de IIoLbes et de Descartes, dans les écrits des anciens ge'omètrcs.

« Puisqu’ enseigner, dit le premier de ces deux phi- » losophcs (i), n’est autre chose que conduire l’esprit » de celui qu’on enseigne, à la connoissance des choses, M en lui faisant suivre la route que l’on a tenue soi- » même en les trouvant, la méthode de démonstration » est la même que celle de recherche, si ce n’est qu’il » faut en supprimer la première partie, c’est-à-dire, » celle qui conduit depuis la sensation jusqu’aux prln- » cipes universels j car ceux-ci , puisqu’ils sont des prin- » cipes, ne peuvent être démontrés; et puisqu’ils sont » connus d’avance , etc. , ils peuvent avoir besoin d’ex- » plication , mais jamais de démonstration. Donc toute » la méthode de démonstration est synthétique; et elle U consiste dans l’ordre d’un discours commençant aux » propositions premières, ou les plus universelles , com- » prises par elles-mêmes, et s’avançant toujours par un » enchaînement continuel de propositions syllogisti- » ques, jusqu’à ce que la vérité de la conclusion cher- » chée soit comprise par celui qui apprend

» Les propositions premières ne sont autre chose que. » des définitions, et elles seules sont des bases de déj) monstrations, c’est-à-dire, que ce sont des vérités » créées par la volonté de ceux qui parlent et de ceux » qui écoutent, et qui, par cela même, sont impossibles » à démontrer ».

Voilà précisément la méthode d’Euclide. On diroit

(i) Voyez le cliap. IV de la logique de Hobbes, tiaduct. da 31. Dcsluu-ïracy , pag. (jôq.

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que notre auteur n’a eu devant les yeux, dans chaque théorie de ses principes, que le sens strict de ce peu de mots. Pour en donner un exemple remarquable, nous n’aurons besoin que de nous arrêter un instant sur la définition fondamentale de son IX“'. livre (i). Suivant la méthode ordinaire, on commence la théorie des exposants, par a”==aaa etc. , lorsque n représente un nombre entier et positif j et de ce cas particulier, on procède syllogistiquement k la formule générale a^=i + Âc-pi(èc)’ -4- etc. , quel que soit le nombre 6 j ce qui est absurde en rigueur logique, car l’espèce ne sauroit contenir le genre; et si le commençant ne s’aperçoit pas de cette absurdité, c’est parce que la courbe qu’on lui fait parcourir entre les deux objets a^ — aaoelc., et I -4- 6c + etc., est ordinairement aussi

longue que compliquée. On lui cache d’abord le chemin le plus court qui devroit le conduire de l’un à l’autre; et ensuite l’autorité des livres, jointe à celle des professeurs, lui en impose. Voilà pourquoi M. da Cnuba a pris pour proposition première de la théorie exponentielle, la formule a*= i -f- Ac -f- etc., d’où il n’y a qu’un pas à faire pour arriver à la dénnilion vulgaire a^ — ana etc. ; et c’est ainsi, ou k peu près, qu’il faut discuter la plupart de ses définitions, si on ne veut pas courir le risque d’en rejeter les plus exactes, sans savoir ce que l’on fait.

Mais la méthode de recherche n’est-elle pas la plus lumineuse, la plus attrayante, etc. ? Rien ne seroitplus superficiel qu’une pareille objection, si on prétendoit

(i) Voyez la définition II du liy. IX de ces principes.

infirmer par-là le jugement de Hobbes, que nous venons de citer en faveur de notre auteur. La méthode d’invention doit être aussi variable que les goûts de ceux qui se mettent à la place des inventeurs. Pour s’en convaincre, on n’a qu’à jeter les yeux sur la diversité de vues qui règne dans ces ouvrages élémentaires dont on a parlé plus haut. Â mon sens, s’il y a une méthode susceptible de limites en perfection , ce ne peut être que la synthétique; car la vraie proposition première d’une théorie quelconque une fois trouvée, elle en sera toujonrs la première ; celle qui touchera de plus près la première, en sera toujours la seconde; ainsi de suite. Or, ce n’est que de ces limites, rigoureusement parlant, qu’il s’agit ici. D’ailleurs , puisque notre auteur présuppose un intermédiaire quelconque entre lui et le simple commençant, il est visible que son plan n’exclut aucun moyen d’enseignement, pourvu que ce moyen mérite le nom de méthode. Tâchez, pourroit-il répondre à cet intermédiaire quelconque, de suppléer comme vous le pourrez à la première partie de la méthode de recherche que j’ai supprimée , c’est-à-dire , à celle qui conduit depuis la sensation jusqu’aux propositions universelles. Expliquez ces propositions premières par votre méthode d’ invention ; développez à fantaisie les ramifications principales de chaque théorie, etc.; mais n’ oubliez jamais de réduire vos développements à la sjrnthèse la plus concise et la plus rigoureuse ; autrement vos élèves pourront très -bien confondre quelquefois des explications plausibles , et même des cercles vicieux, avec des démonstrations géométriques. Telle est en géqéral ma manière d’apprécier l’ouvrage

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dont je présenté la tradnelion. Je toudrois pouvoir m’elendre davantage, et prouver en dc'tail du moins la sincérité de mon opinion ; mais cela demanderoit trop d’espace. Nous y reviendrons dans un autre petit travail que j’ai consacré encore à la mémoire de M. da t Cunlia, et oii je tâche d’analyser non- seulement les théories de ses Principes qui me paroissent les plus parfaites, mais même celles qu’il auroit simplifiées bien davantage, s’il avoit eu le temps de les retoucher dans une seconde édition. Ce travail suivra de près le reste de ses œuvres de mnlhémaliques, que j’ai promis plus haut. Heureux si, par mes bonnes intentions, je puis mériter l’indulgenee du lecteur et l’approbation de mes compatriotes !