LIVRE XIÏT. ^ Î

PROBLÈMES

I. Les cAles et la base BC d’un triangle ABC e'iant donnes, calculer le point où la perpendiculaire baisses du sommet de l’angle opposé à BC, doit rencontrer et même côte'.

Soient AD la perpendiculaire, et a, h , c, les yaleurs d’AB, BC, AC. Désignant par x le segment BD, on aura AD<y = a* — x’ [5. i5], etADf^ = t* — (i — x)*; d’où a* — x’ = c* — {h — xl*, et a’=L’ — A’ + aix, ce

qui donne x= = = —

^ ib -ib

(a+c)(a — cA

Scholie. Lorsque l’angle ABC est obtus, on a < c*, ce qui est facile à déduire des Mv. I". et V, et par conséquent la valeur ilex négative; si ABC est aigu, ou a a*+A*>c*, et x positif. Et en effet, ces deux valeurs contraires de la ligne x répondent aux deux situations contraires où elle se trouve placée dans l’un et l’autre cas, ce qui est également facile à déduire du liv. I".

IL Trouver l’aire d’un triangle dont on donne les cAtes.

Soient a. A, c, les côtés : il suit du problème pré> cèdent , qu’en prenant b pour base, on aura a* —

pour le carré de la hauteur; donc^A

ÏÂ

y/(û * — l j ) sera Taire da triangle.

Corol. ;Av/ (a»— ^ ) =|A y/

PRINCIRES MA.THéMATIQUES ,

*ih

a’+2ai+i* —

aA

'ih lh )

~î;\/ ((^+^+c) (a + i — c) {a — i+c)( — a+^+c)) z=^y/ {{a + b+c) {^a+b + c-—'ic){a+h + c — ai)(a + i+c — aa)).

lu. Condoissant les càle's â’nn parallélogramme et l’une des diagonales, trouver l’autre.

■ Soit ABCD un parallélogramme dont le côté AB = a, le côté BC=ô, la diagonale BD:^c, et la diagonale demandée=x. On aura, d’après le corol. précédent, \\/ {{a + b+c){a + b — c){a — b + c) ( — n+i+c)) = iv/((«+TC+7^) (a+|c — iar) (a— |c+iar) {—a

+7C4-{x))4-^\/ ((^ + ïC + T^) (^+tC ^x) {b — r^c

+ îa^) ( — i+Ÿc+jar)). Désignant le premier membre de cette équation par ^ ^ D , et le second par i y/ Z+ iy/Y, on aura ^ V^D=^v/Z + iy/ Y; D=Z + 2 y/ (ZY)+Yj D— Z— Y=3 v/(ZY)j et(D— Z — Y)’ = 4 (ZY) , équation dégagée de radicaux j d’où l’on ponrroit déduire la valeur de x, en substituant celles de 1) , Z, Y, et en effectuant les mul ti plications indiquées; mais le calcul en seroit long. Voici une investigation plus abrégée.

Menant AF perpendiculaire à BD, on aura BF =

±, et BF=fl±i£:

—, d’oùrontirex=

Ht y/ (aa’-f-ai’ — c’).

Autre investigation. EF=i — — ^ , et — EP

=-^ ^ , donneront ix’+ic’ — a’=— (jx*-