LIVRE xnr. i

+ ^c* — B*)-, d’où l’on tire x= + y/ deux, valeurs de x, quoique la diagonale représentéis par X ne soit susceptible que d’une seule valeur.

IV. Inscrire un carré à un triangle donné, de sort*que la base de l’un fasse partie de celle de l’autre.

Soient ABC le triangle donné, etx la base du carré que l’on demande, représenté par DEFG. Désignant AB par BC par A, et CA par c, on aura i :<j:x:AD; AD=a

ÜJC f QX\*

, etBE 9 = fa — — x’. On trouvera de même

CF^= — X*. Donc b — x = ^(^a —

— ar’)+Y/(^c — — x’), équation qui ponrroit

donner la valeur de x; mais dont le calcul seroit long. Voici une investigation plus expéditive.

Soit AH=det perpendiculaire à BC : on aura b tx:id

» T . 1 T . XTT dx bd

:AI=-j-; d=AI+IH= -y — \-x , etx=-j-—

Construction, Menant HL=i, LM=d, et Ll pa-

rallèle à AM, on aura HT —

bd

V. Soit AB un arc de cercle, C le centre, BD une droite perpendiculaire au rayon AC, AED un demicercle , et F le centre : on demande le centre d’un cercle qui touche l’arc AB, la droite BD et l’arc AED?

■ Désignant par G le centre du cercle, et supposant AC=a, KF— b J et FH~x, menez CG, FG, et la droite GH, perpendiculaire à CA. On aura EG=DH — X, CG=<i — EG=a — 6 X , GF= 5-1-GE=3 ai — 'X, et CH = a — b — x; et par conséquent {a — b

l66 PRINCIPES MATHEMATIQUES,

+ x)’— (« — i — jTj’= {ib — x;’ — X*, c’est-à-dîre j

4 (fl — b)x=f\b' — ^bx-, ax—b‘‘,eXx-=~.

Construction. Prolongez CA vers I jusqu’à ce que FI = a; devez FL perpeiuliculaire à CA = tirey IL, et menez LH perpeiuliculaire à IL; FH sera=x. Du centre C avec le ravon a — DH, et du centre F avec le ravon è + DH , décrivez tleux cercles : le poinlG où ils se couperont sera le centre demande.

VI. Par deiiz. pctinls donnes conduire un cercle qui toucbe une droite infinie, mais donnée de position.

Menez d’abord la droite AB qui ne soit point parallèle à CD, et prolongez AB jusqu'au point D de la droite CD. Désignant par C le point de contact entré CD et le cercle demandé , on aura CD</=ADXDB, et par conséquent CD= + < ADxDB), deua valeurs

do CD egalement utiles; car en plaçant -f-y/(ADXDB) d’un côté, et — y/ (ADXDB) du côte opposé, on aura deux cercles qni satisferont egalement à la question.

Le cas où AB seroit parallèle à CD n’a pas besoin de calcul. "

VII. Dans un cercle donne' ABC, inscrire une droite donnée BD, moin<lic que le diamètre; mais de- sorte que cette droite prolongée passe par un point donné E.

Menant par le centre du cercle et par le point E la droite E.AC, qui rencontre la circonférence en deux points; et supposantEC=a, EA = ô, BD = c,etEB= X, on aura x (x-f-c) = ai; x*4-ox — ab = oj pi x=? — •; c+ \/(,^c*+ab). Désignant ces deux valeurs par EB et ED, on voit qn’ elles sont vraies par rapport à la quantité, et fausses eu égard aux signes; car elles ne sont

fc,

LITRE XHI. i6*7

pas en sens contraires , comme le calcul l’indique : pour être vraies à tous égards, on eût dû trouver x = y/ (^c*‘ -1-ai) +7C.

Construction. Menez l'a tangente EF, et vous aurez- EF^=ai; devez GF=^c et peq>endiculaire à EF : menez EG qui sera =y/(ic’ + «i)j sur EG prolongée, prenez GII=;tc, et du coté opposé coupez GI = GH; les droites EH, El, seront les deux, valeurs de x — v/( jd + aô) +4c.