I. Trouver le centre d’un cercle proposé

Soit ABC le cercle. Tirez la corde AB, et divisez-la également en D. Par le point D menez la perpendiculaire EDC jusqu’à la circonférence, et diviscz-la égale- > ment en F : je dis que F sera le point qne l’on demande.

Car autrement le centre du cercle devra se trouver hors de la ligne EC [ i. déf. 6]. Supposons-le en G, et ■ menons GA, GD, GB ; on aura AG=GB [i. déf. 6], et l’angleGAD=GBD [i. 4 ]: mais AD=BD[const.]; donc ADG=BDG [ I. 5], et par conséquent ces deux angles

l6 PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

seront droits [ 1.6. corol.]: mais ADC est droit [const.]; donc l’angle A DG = ADC, ce qui est absurde j donc F est le centre demandé.

Corol. La perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde passe nécessairement par le centre.

II. Le rayon ne sauroil être perpendiculaire à la corde, sans la cou|>er en deux parties égales ; ni la diviser eu parties égales, sans la couper perpendiculairement, pourvu que la corde ne soit pas un diamètre.

Soit AB la corde, C le centre, et CG un rayon perpendiculaire à AB : je dis que AD=DB.

Car autrement on pourra diviser AB également en E, et y lever la perpendiculaire EF, laquelle devra passer par le centre C [2. i. corol.] ; ce qui est impossible , vir que EF doit être parallèle à CD [1.8. corol. ] j donc AD =DB.

Supposons AD=DB : tonte droite élevée perpendiculairement sur le point D doit passer par le centre C, et ne faire en conséquence avec CD qu’une seule et même droite [ i. déf. 4 ]> donc CD est perpendiculaire à AB.

III. Si d’un point intérieur du cercle on peut mener à la ci rconférence trois droi les égales, ce point en est le centre.

Soit AB=AC=AD. Menez les droites BC,CD, et divisez-les également en E et F, moyennant les droites AE et AF. Puisque BE=CE [const.], et BA=CA [snp.], ainsi que l’angle ABE=ACE [i. 4], on aura l’angle AEB=AEC [i. 5 ] ; donc AE perpendiculaire sur BC.

, On démontreroit de même que AF est perpendiculaire sur DC: mais AE, AF, doivent passer par le centre [2. I. corol. ], et le point A est le seul où elles puissent se rencontrer; donc A est le centre du cercle.