LIVRE II

/' iV. Si deux rayons divisent le cercle en deux secteurs, l’angle de l’un de ces secteurs sera toujours le double de l’angle inscrit à l’arc de l’autre secteur.

A est le centre du cercle BCD, BADE l’angle de l’un des secteurs, et BCD l’angle inscrit à l’arc de l’autre secteur.

Supposons d’abord <juc le centre A soit un point de BC, cote de l’angle BCD. Puisque AC=AD, on aura l’angle BCD = ADC [ i. 4 ] : mais l’angle BAD est égal à la somme des deux BCD plus ADC [1. 12 ]; donc BAD sera le double de BCD.

Supposons, en second lieu, que le centre A ne se trouve sur aucun des côtés de l’angle BCD. Menant le diamètre CAF, l’angle BAF sera le double de BCF, et l’angle DAF double de DCF [dém.]; donc BADE sera le double de BCD.

Corol. I. Un angle sera plus grand qu’un autre, s’il est inscrit dans un arc plus petit; et plus petit, s’il est inscrit dans un plus grand arc.

2. Les angles Inscrits sont e'gaux, lorsqu’ils le sont dans des arcs égaux; et si les arcs sont égaux, ces angles le seront aussi.

5 . Un angle sera droit, on aigu , ou obtus, selon qu’il SC trouvera inscrit dans une demi-circonférence, on dans unarc plus grand ou pluspetitque la demi-circonférence.

4 - Deux angles opposés d’un même quadrilatère font ensemble deux angles droits, lorsque le quadrilatère est inscrit dans le cercle, c’est-à-dire, lorsque les sommets de tous ses angles sont à la circonférence.

V. Tout point de la corde, différent de ses eitre'milés, est placé dans l’intérieur du cercle.

l8 PRINCIPES MATHÉMATIQUES,

Soit C an point quelconqae de la corde ÂB, et D le centre. Menez les droites AD, BD, CD. L’angle DAC étant = DBG [1.4], et DBG < DCA [ i. 12 ] , on aura DAC < DCA , et par conséqaent DC < DA [ i . 1 5 ] : donc le point G sera dans l’intériear du cercle.

VI. Lorsqu’une droite et une corde se rencontrent dans un même point de la circooférènce , de telle sorte que l’angle qu’elles y forment soit e'gal à l’angle inscrit dans l’arc extérieur, c’est-à-dire, dans l’arc qui n’est point compris entre la droite et la corde, je dis que cette droite touche les deux arcs au point où elle les rencontre j et que si elle y est tangente à l’un de ces deux arcs, elle le sera également à l’autre, et formera de chaque c 6 té de la corde, deux angles égaux à ceux qui seront inscrits dans les arcs externes , chacun à chacun.

La droite DAE passe par l’extrémité A de la corde AB, et y fait avec elle l’angle BAE égal à l’angle ACB inscrit dans l’arc ACB : cet arc s’appelle externe par rapport, à l’angle BAE. Cela posé, je dis que la droite DE C?* touche les deux arcs AFB , ACB , au point A.

Toute droite menée du point A à quelque autre point de l’arc AFB, doit tomber dans l’intérieur du cercle [2. 5 ] , et faire avec AB un angle moindre que ACB [2. 4] ; il sera inscrit à un arc > ACB ; donc ce même angle doit être <BAE, et par conséquent tous les points de l’arc AFB seront situés entre les droites AB et AE. Menons, s’il est possible, par le point A , entre le cêté AE et l’arc AFB, une droite AG. Puisque l’angle BAE est = BCA [sup.], on aura BAG<BCA; on pourra donc faire BCH = BAG, et mener AH. L’angle BCH sera =

BAH [ 2. 4 - corol.], et par conséqaent BAH = BAG,

LITRE IL >9

c’esl-à-dire, la partie e'gale au toutj ce qui est absarde.

Il est donc impossible de mener par le point Â, entre le côté AE et l’arc AFB^ une droite telle que AG; d’oii il s’ensuit que la droite AE et l’arc AFB se touchent réci' proquement en A. [a.déf. 3].

D’un point quelconque F de l’arc AFB, menec les droites FA, FB. Les deux angles oppose’s ACB, AFB, feront ensemble deux angles droits [ a. 4- corol. ] : mais les deux angles BAE plus BAD font aussi deux angles droits [i. 6. corol.] ; donc ACB plus AFB = BAE plus BAD : or l’angle ACB = BAE [sup.] ; donc l’angle BAD = AFB, et par conséquent AD touchera aussi l’arc ACB au point A [ dém. ].

Supposons maintenant que la droite IN touche l’arc ILM au point I ; menons la droite IL, et dans l’arc LMI, exteruepar rapport à l’angle LIN, inscrirons l’angle LMI: je dis que LIN sera=LMI; car si LIN est, par exemple,

> LMI, on pourra construire l’angle LIO = LMI, et

pour lors le côté lO sera tangent à l’arc IL [dém.] : mais

entre les deux droites IN, 10, on en peut mener autant

qu’on veut ; donc il sera possible de conduire plus d’une *

droite entre un arc IL et sa tangente IN ; ce qui est oon-

traire à la définitionlll, lir. II: doncLIN=LMI; d’où

il s’ensuit que la droite NIP doit toucher à la fois, et au

même point I, les deux arcs IL et LMI.

Corol. I. Un cercle et une droite ne peurent se toucher que dans un point. Cette conséquence dérire delà proposition précédente et du commencement de la démonstration.

a. Toute droite menée par le centre d’un cercle, et par le point de contact, est perpendiculaire à la tangente

dans ce même point; et toute droite perpendiculaire à la tangente au point de contact, doit passer par le centre du cercle.

5 . Toute perpendiculaire A l’extrémité d’un rayon est tancente à la circonfiùence.

‘ 4- ïic peut mener qu’une tangente par an seul point de la circonférence.

VH. lie diamètre est la plus grande de toutes les cordes d’un même cercle.

Soient AC un diamètre, et AB, BC, deux cordes du cercle ABC; l’angle ABC sera droit [2. 4 - corol.] , et par conséquent > ACB [ i. 12] ; donc AC > AB [ i. i 5 ].

VTII. De deux arcs de cercle décrits avec des rayons égaux, et moindres que la demi-circonférence, le plus grand est celui qui a une plus grande corde, et la plus grande corde sou tend un plus grand arc.

GA, HD, sont deux rayons égaux, et ABC, DEF, des " arcs circulaires moindres que les demi-circonférences respectives. Soient menées les cordes AC, DF, et les rayons GC, HF. Ces rayons seront égaux. Supposons l’arc ABC > DEF ; l’angle AGC sera > DHF [ 1. déf. 8 ], et par conséquent la corde AC > DF [ i. 14]. Si l’on suppose la corde AC > DF, on aura l’angle AGC > DHF [ I. 14] > et par conséquent l’arc ABC > DEF [ i . déf. 8 ].

Si le plus grand arc étoil une demi-circonférence, la corde en serolt le diamètre , et parlant la plus grande [2.

7 ]; si la plus grande corde étoit un diamètre, l’arc soutendu serolt une demi-circonférence, et partant le plus grand arc [sup. ].

Corol. Dans des cercles à rayons égaux , les arcs égaux