LIVRE XIV, Iq

on aura 2e (AC+CB) = 2t/X2arj AC+CB = — x, AG

= e^• — X, et par conséquent J"’

équation à l’Jnqjerbole , parce que </> e.

Vin. Lad roile AB e'Iant donnce'clc position, ainsi que le point C , situe lioi-s Je cette diuiie, tandis que la portion DE de la droite CE, coupée par AB, n'est donnée que de grandeur, on demande le lieu du point E?

Soient CA, EB, perpendiculaires à AB, AC=n, DE = AB = x, BE=^: on aura a:j-;:AD:BD, cvy

y.'.x'. DB = — -ij— , et pa r conséqu en l i’ r= qui revient à

Scholie. On donne à celte courhe le nom de Conchoide de Nicomède ; elle a quatre branches infinies, dont AB est rasyraplote ; et il est facile de déduire de l’équation, ainsi que de la supposition, que cette courba doit avoir un nœud en C, toutes les fois qne h > a.

IX. Le cercle ABC et le diamàire AC sont donnés de grandeur et de posiiitni; ACD est un angle droit; AD, comprise entre le point A et la droite CD, coupe la circonférence dans un point quelconque B , et la droite AE est = BD : on demande le lieu du point E?

Si l’on lire EF, BG, perpendiculaires à AC, en aura GC=AF. Soit AC, a ; AF, x; cl EF, On a CC =:.r;

AO— a — X; xij-::a — x : BG; j-’ = PiG.y =5

A G X GC = ( a — x) X , e t par conséquent o = — x’

xr'.

194 PRI>*CXPES MATHÉMATIOUES ,

Scholie. Cette courbe est la Cissoïde de Diodes.

X. Le rapport entre les côtés du triangle ABC étant connu, et la base AB étant donnée de grandeur et de position , trouver le lieu du sommet C.

Soit CD perpendiculaire ii AB, AB=a, AD— a:, CD=j', AC:CB:: 1 :ni. On aura BD = a — x, ACf^X 7JI» — CB<y, 1 o’ 0/7JC et o= a*

— 2 flX+ (i — (i — m^)x^ ■ le lieu du point G sera donc un cercle.

Scholie. jr=o rend x= : prenant donc AE=

^ ■ et AF = — - — , la droite EF sera le diamètre

i+m’ 1 — ni

de ce cercle j car l’équation prouve que chaque ordonnée en est une demi-corde.

XI. A étant un point quelconque d’une droite infinie qui passe par les points B et C, donnés de position, et supposant qu’AD soit perpendiculaire à celte droite, et movenne proportionnelle entre les segments AB, AC, on demande le lieu du point D?

Tant que lo droite AD tombera entre les points B, C, le lieu demandé sera il’ abord on cercle ; car la supposi lion A B ; A D :: AD : A C, donne AD^^rABxAC équation an cercle : il sera composé encore de l’hyperbole, toutes les fols que le point A tombera sur le prolongement de CB J car on aura alors ADc/ = (BC-f BA )XBA, et par conséquent o=BCxBA-f-BA^ — ADi^ , équation à l’hyperbole.

■ Scholie. Cependant, si on calculoit comme dans les exemples précédents, on rcncontreroit une solution incertaine; car désignant BC par fl,BA par x, et AD par si l’on suppose A situé entre B et C, on trouve

T.IVBE XIV. I g5

(a — x^x—ax — ar’jéqaalion au cercle, dont aucune ordonnée ne tombe surBC prolongée; et si l’on suppose A sur le prolongement de BC, on trouve = équation h l’hyperbole, qui ne donne aucune ordonnée qui ]>uisse tomber entre B et C ; d’où il résulte que la conclusion de l’existence du lieu du point D ne dépend ici que d’une supposition purement arbitraire. Et voilà encore une preuve de ce que l’on a avancé plus haut [ i3. 8. schol.] , savoir, que le langage métaphorique exposé dans les liv. VIII et XIII, et dans lequel consistent à la rigueur l’algèbre et l’analyse modernes, est sujet à des erreurs, par cela même qn’il tient à des hvpotbèses qui no ô’accordent pas toujours avec les conditions des problèmes, et qui souvent même les eontrarient; car si, d’une part, on abrège extrêmement les solutions par la liberté que l’on a de nommer somme ce qui n’est qu’une différence, et </t)5^érenre ce qui n’est que somme; de l’autre, on met des bornes à ces mêmes solutions: on les rend quelquefois fautives, par des restrictions incompatibles avec l’étal de la question, en ne prenant pour égales que des grandeurs affectées d’un même signe, et en ne donnant le nom de proportionnelles qu’aux grandeurs désignées comme telles dans la définition Y du liv* VUI.

PRINCIPEi? MATnéniA TIQUES ,