LIVRE XIV

trouvera p’s* — ^prslu + ' 2 f>rsz + — •xr'tuz-\-r'z'

— (i — ijt) sau+ {(i + t) sazi clou il suilcjue [/• étant >■ i], DE ne sera axe principal ejue lorscftie t~o, c’esl-à-tlire , lorsque DE sera parallèle à AC. Faisant donc r=o, s deviendra = i , et l’équation se trouvera réduite à j>'‘ + y)rz+r*z'‘ = au + aqz ; mais pour cjnc DE soit on axe principal, il faut encore que les termes ^prz, a<]z, disparoissenl de l’équation^ donc •i.pr=^aq ,

Corol. La parabole n’a donc qn’nn seul axe principal, cl tous ses diamètres sont parallèles entre eux.

IV. AnCD étant un quadrilatère où l’on suppose AB parallèle à CD, et dont on connoît le côté AB , l’angle ABC, et le rapport entre AD et DC, trouver le lieu du point D.

Soient DE parallèle à BC, DF perpendiculaire à AB, AB = fl, EF:ED:;c:i, AD:DC::w:i, AE = x, ED =j" ; on aura A T)q = j'’ + a:’ + 'icxj' DC )’ =

et par conséquent O = + o.m'‘ax 4- ( — i ) a’ — iciy^ — , éejua-

tion de la courbe dont un point quelconque satisfera aux conditions du problème.

V. Les droites AB, AC, ne sont données que de position, tandis qne la droite DC, ainsi eiuc sa partie CE, inscrite à l’angle BAC, sont données de grandeur. On demande le lieu du point D?

Soient DF parallèle ù AC, DB perpendiculaire à AB,

CD=a, DE=A, AF=x, DF=j- et = c. Le

rapport c étant connu , parce que l’angle BAC est

*92 PRIXCIPKS MiTïrfjUTIQÜES,

donne, on aura BF = cj-: or les triangle» semblables

donnent a: — EF:EF::rt — h -.h, et par conséquent x:

hx , , ibc

'LFy.axh , et LF= — ■ donc — x’q xy.

mais c étant < i , cette équation ne peut appartenir qu’à l’ellipse; donc le lieu du point D est une ellipse. Si l’angle BAC éloit droit, l’équation deviendroiti’ =

j-'q-— x’, et les droites a, h, seroicnt les demi-axes

principaux.

N'^I. La somme des côtés AC, CB, du triangle ABC e'tant donnée, ainsi que la longueur et la position de la base AB , trouver le lieu du sommet C.

Ayantlîré CD perpendiculaire à AB, et divisé AB également en E, on fera AE=d, AC4-CB — ae, ED=x, et CD==y ; d’où AC^ — ADy = BC(7 — BD<;f, et AC^ — • BC7=AD(/— BD7— -(AC-f-BC) (AC — BC) = (ADq- BD)(AD — BD) = 2e (AC^ — BC) = 2«fX2x; donc AC

— BC=^x,ct AC [=i(AC-fBC)-l-i(AC — BC)] = eq- ~x: donc -^x^ — (rf-fx)*=e* —

d’-l — x“, équation à l’ellipse, vu que e> d. Le

point E en sera le centre, et les deux droites \/ {e* — d’), et e [qui passe par les points A, B] , en seront les axes principaux.

VIL La différence des côtés AC, CB, du triangle ABC étant donnée, ainsi que la longueur et la position de la base AB, trouver le lieu du sommet C.

Soient CD perpendiculaire à AB, A B divisée egalement en E^ AC — CB=ae, AB = 2 </; ED=X; etCD=j':