LIVRE III

DÉFINITIONS

I. Le tout composé de parties e'gales s’appelle multiple de chaque partie, et chaque partie sous-multiple du tout.

II. Lorsqu’on compare deux grandeurs quelconques en examinant combien de fois la première comprend un sons-mulliplc quelconque de la seconde, on nomme celle-ci conséquent , et l’autre antécédent. '

III. Si plusieurs antécédents et leurs conséquents sont tels qu’aucun des antécédents ne puisse contenir un sous-multiple quelconque de son conséquent, plus de fois que chacun des autres antécédents ne contient un équi-sous-multiple de son conséquent, on les nomme proportionnels , et on dit que l’un des antécédents est à son conséquent, comme chacun des autres antécédents est à son conséquent.

AVERTISSEMENT

I. Pour désigner qu’une grandeur A est à une grandeur B, comme une autre grandeur G est à une grandeur D, on écrit A ; B:: G : D.

II. A -f B, c’est-à-dire, A plus B, marque le tout composé des parties A et B.

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, a4 PRINCirKS MATHRiMATlOCES ,

lir. A — B, c’csl-ù-(liie, A moins B, marque ce que l’on doit ajouter à la grandeur B^ pour composer un tout ► égal à A.

AXIOME

Deux grandeurs inégales étant pro|-)Osées , quelque multiple de la plus petite cxce'dera la' plus grande.

PROPOSITIONS

I. Deux grandeurs étant proposées, si de la plus grande on retranche non moins de la moitié, et du reste non moins de la moitié, et ainsi de suite, on parviendra toujours à un reste moindre que la plus petite.

Soit A > B; quelque multiple de B sera > A [5. ai.].

Soit d’abord B+B > A , et C la moitié de A ; on aura ^ A = C+G, B+B > C+C , et par conséquent B > C.

Soit B+B+B > A , et désignons par C la moitié de A, et par D la moitié de C : on aura A=C+C=D+D +D+D < B+B + B ; donc D < B.

Soit B+B+B+B > A. Retranchons de A la moitié, et soit C l’autre moitié j retranchons de C la moitié, et soitDl’autre moitié; retranchons de Dla moitié, et soit E l’autre moitié : on aura A =E+E+E+E+E+E+E +E< B+B+B+B, et par conséquent E < B; et ainsi de suite. Mais si à chaque soustraction on retranchoit plus de la moitié, le dernier reste scroil encore plus petit; donc, etc.

Corol. Quelque inégales que soient deux grandeurs homogènes , on pourra toujours supposer un sous-multiple de la plus grande, moindre que la plus petite.