LIVRE XVin

, 4- La proposition XII donneyz’ ( I —

(i — z) — ’ — l'Z’C* — •*)“■ ' + 5./' •^(‘ — z)~'dx-, mais parla prop. on a f t ( i — z)~ 'dz= — z+ /(, i — z)~ ’dz;

et /{i ■ — z)—'dz est = — / ^ = — I (i — z)[i5.8];

donc f z’ (i — z)~^dz = ^z’(i — -z)"*' —

— 5z — ?d{ I 5 — «). Si l’on avoit poussé la réduction audelà du second ternie , toujours par la voie de la proposition Xll, on auroit trouvé des expressions absurdes. 5. La proposit. XII donne fx^ {a^+x‘‘)~^dx= —

(a’-J-x’)~^ — x^(a’-I-x’)~*- — ^ x(a’-fx’)~*

-1 — f {a^+x^)-'dx : maisy(a’-l-x“)-'i/x I = —

/ ( * ) — I représente

I un arc circulaire z dont

— est la tangente [i 6. a5]; doncyx®(a’-px’) — ^ii/x=

— lx®(a’-l-x*)-’ — (a’+x’)-’ — -^x(a’-fx’)-'

XIII. Désignant par a un nombre non moindre que chacun des coefficients négatifs d’une équation quelconque, du genre de celles dont on s’est occupé dans le liv. X, je dis que toute racine positive de celle équation sera <a-p i .

Posons le cas le moins favorable, et soit x™ — ax*~> ■ — ax"*— * — etc.=o une équation proposée. On aura X™ — ax"—' — ax"— * — etc.= — a — ax — ax’ —

«X"— ‘-l-x"=.T" — a. Mettant a-h i à la place

de ar, on troure x“-

a = I , et par conséquent.

si on suppose x = a+ 1 , on aura x'">ax'"— ’ + nx™— * +etc. ; mx^~' > (m — i ) erx'"~^ + (TO — a) ox“— ^ + etc. ; (m — I > (w — a) (m — i)ax"*— ^ + (w — 5)

(m — a)ax“"^+etc. , ainsi de suite; donc tous les polynômes dérivés de x” — ax"*~‘ — ax'"—’ — etc. =o,

d’après la proposition XI du liv. X, seront positifs.