LIVRE XIX
Soitsane expression dégagée de j" , et capable de rendre A«<(> fluxion exacte. On aurar/(A«) —
B<rrfa:=o; ^ dx,l{Ae)~ ^ dx , Aa —
f\-dx 't
g J d’où par conséquent, +1 =
dx.
Satisfaire complètement à l’équation ‘^(0 + ^^)’
+ t(g-H^x)' ^ +c{g+hx) ^-f;^ =X. Supposant
^ {g+hxydy+cs{g+hx)dj+
dx
f«jdx—X<sdx , il faudra satisfaire à d^{a{g+hxY) — ^ Ax)*)-fcfi?(<i(g-l-Ax))— /fff/x=o. L’équa-
tion ff = (g -H Ax)l^ remplira cette condition, pourvu que l’on ait ah} (p-f i)(p-f-2)(p-|-5) — i)(p+ 2 ) 4 -
cA(p-f I )— /=o; et il sera^ (g-t-*x)i*+^dy-l.
^Izlï^}fh.[g^hx)V-+-‘dj+{c — (p-l-a)AA-f (p- 1 - 2 )
( p-f 5) «A*) (g-f ^x)I^+ —f{g+ hxy^'S^x . De cette
équation on déduira, suivant le même style, une équation inférieure qui donnera la valeur d’^'.
. </’u du
Satisfaire complètement a 1 équation A -1- B d-Cn-l-A' $r +B' ^ +C'jr=x.
dx’
On écrira Aa-; |-Bad«-|-Cffttdx-|-A'9-7 — |-B'«<^
dx dx
+C edx = 'S^adx , à condition que les deux équations
,,TJ ^ J . d'{k’(5) , ,
— \ +C(jax = o, et ; afn <j)+
dx ’ dx ^
C <sdx=o , donnent, l’nne la valeur de «, et l’autre
les rapports qni doivent exister entre A, A', B, B',
et C, C', pour satisfaire àl’cqnation proposée.
Satisfaire complètement aux équations
dx dx dx
multipliant la première par Xdx, la seconde par pdlr,
et la troisième par •>)dx, à condition que les produits
deviennent des fluxions exactes , il faudra que l’on ait
aussi (AX+Cp+Ev)t/tt4-(BX+Dp+Fv)u<fx+ (A'A +
C'p+E'v)«^+(B'X+D'p+F'v)j-cfx+ (A"X + C"p+ E"v)£fz+ (B"X + D"p + F^^v)z</x=('VX + Yp+Zv)<fx,, fluxion exacte, et on aura
d{K X+C p+E v) — (B X+D p+F v)<fx = o, <f(A'X + C'p+E'v) — (B'X+D'p+F'v)c/x = o, <i(A"X+C"p+E"v) — (B"X+D"p+F"v)rfx = o; c’est-à-dire,
A éIX H- («f A — Bi/x)X -fCt/p-f (dC — D^fx) P -f Erfv + (Æî
A'<fX-K^A'— B'</x)X-f-C'i/p-|-(dC'— D'<ùr) p-+* E'//v-J-(dE' — F'</x)v=q,
A"dX-4- (<fA"— B"t/x)X -l-C"</p -f {dQ''—'D"dx) p+ E "<iv -f- (<fE " — F "dx)'» = 0 }
laVBE XIX.
d’où l’on déduira trois ét^nations de la forme e X+ï,
qui finiront de résoudre le problème.
Satisfaire aux équations ^ , .d^z . dz
dx
dn.
dx
/ ^ dx
cZ>
dx
'dl~°*
-fG"
Êt
dx
dx
A ^ +Cr+A' ^ +B' ~ 4 C'z = X,
dx'
dx
mettant /> et ^ à la place de ^ et il suffira desatisfaire aux quatre équations
^ È +B;^+Cr+A' s +B'v+C'z=X,
dx
D±+Ep+Fjr+D' ^ +E'</+F'z = Z,
dy dz
2. Soient «,6,7, etc., des nombres quelconques donnés, et [a', p", , etc., les racines de l’équation
a-H^p-l-cp’ +yp^ +etc. =0.
Pour satisfaire à une équation de la forme -fi ~ -f
c suffira de supposer égal à
un terme quelconque ou à la somme de plusieurs termes de la suite aef"', , etc. , ce qui est facile
à vérifier.
ayO PRINCIPES MATHÉMATIQUES,
5. Aussi lorsque (A est imaginaire , on peut toujours supposer J" égal à uu sinus, ou à la somme de plusieurs sinus , par cela même que les racines imaginaires ne peuvent «Hre qu’en nombre pair. Par exemple, si l’on ponvoit faire = — on auroit aussi j" =
+ l)xq.e{m — n y/ — — 1 — m —
= 26 "'* cos («*).
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