XIV. Soit do = A^^" + ’j" + 'jr -\-Tid'' — '‘y
+.... + V : quelle fonction de x doit ètrej^, pour qu’à chaque valeur de x réponde toujours un f Zdx maximum ou minimum!
Soient J" et diverses fonctions de a:, et sup-
posons S des fluxions relatives àjj'flucnte de AB=x, BB'=<fx, BC=j', Cc=Sj', BD=S, Dt/=SS, et De= ASd’’ — 'jr: on aura SS = A8É/"/-hBS£f"**9'+”- + T5r; / dxT{jr + Sjr) =/ dx{Tx+ + etc.‘)=/ dxTj + f dxZTj' -4- etc. , et par conséquent S f dxTj-=f dxSPx} donc 8 fidx[x= /t/xSS] sera l’aire que D<i décrit: et il est également clair que les points de la courbe décrite par le point d, s’approcheront de ceux de la courbe décrite par D, d’autant plus que la fluxion ^ sera plus petite, et que par conséquent 8 y'Gdlr[= yrfxSS] sera=o, lorsque 8S = o; donc, pour que fÇ>dx soit un maximum ou un minimum , il faudra que A8£/’J7^-1-B8£f''“*j^ -f...-4-T^ devicnne = o. Et puisque les arcs cc' et CC', ee' et DD' tendent à la coïncidence et au parallélisme, à mesure que les fluxions Sx et dx deviennent plus petites, si l’on met j"' à la place de B'C', on aura
A'Sd^-'r' r ^>'«'1 . • e • ••
— — — ; — - — = — r: — 1=1-4- inhnitieme: mais on a
ASd^—'x L De J
• X aussi —
i -1- infinitième; donc dx et $x inCni-
tièmes rendront= 1 -)- infinitième chacun des quotients
A Sd"x -A 8^ /" ~‘x' — A Sd"— 'x
ASd'‘-'x'—ASd''-'x’ ASd’'~X' —A'Sd''-'x' *
<lo„o
— dASd"-'x' ' — dASd"-'x ''
— — dASd"— X' trouvera de même — dASd"~'x
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LITRE XXL 297
ainsi de suite. Réduisant ainsi chaque terme d’ASJ'y + BM"— *j-+ etc., on trouycra enfin J6= +d'’A^^d''~'B^+elc.=o; c’est-à-dire, d’'A — d’'-'B+d''-'C^d’’-^ D-f....+T = o.
Corol. Si S etoit indépendant de x, on anroit dZ =
Ad"+ 9'+Bff"^'-|-,...-|-Trfy: maisÉ?"A — d’'— ' B-f- +
T=o; donc Z=Ad’'j'+ (B — dA) d’'—'jr+ (C —
<£’A ) rf" — ’^-4-etc.
Exemples, i. Quelle fonction de x doit être j* pour
un minimum
^ X ^ toujours à X ?
Onanrag=x“>(.-f g-) ; d6 = x" * -f- g j ‘
^ dy — - P dy X
=•;* V + éj s=“
Oo demande qu'un niinimuni^^^^î-^t^^réponde toujours à X.
On.«.6=,-':(, + ^) ;dC=,-':(.+g) ■
3q 8 pnmciPES- MATiréMATiQtms,
5. On demande la courbe qui, avec son rayon de courbure et la déreloppec, renferme le plus petit espace. Soit l’ordonnée J" perpendiculaire à l’abscisse x. Le
rayon de courbure en sera = — dxd'j - — ’
que la surface dont on demande le minimum, Ao\i étre =
On a d’abord d
(dx' +dj'Y
{dx* + dy''y
dx'd'jr
dx^d'jr''
d^jr+
A{dx +djr )djr ^ ef par conséquent (i’A — dB+C=;
dx^dy J ’ r
^ donc
dx^dy^ ] ^ dx‘‘dy
B dA=-^l parce que B — d'A est une fonction de x
diriséc par dxj ; donc 6 =
(dx*+dj-’)* ^dx'+djy
dx'dy
dx'dy‘
dy+ -^dj+b. Ecrivant udx à la place de , on
trouvera 4da:= anu(i +u*)“’dM+2i (i 4-u’)~’duj ^dy [=4«djr]=2a/<’(i +«*)~*du+ 25 i/(i +u’)'"’du; {^x~
^a{i+u‘)~^+bu{\+u‘)-' + bf{i + u')~'du+c-,Iy= — au{i+u')-' + a /(i + K’)-‘dM — A (i +“’)"■+/;
4«ar— 4ij' = — O* (i +«’)-■ + +«’)-' + *’ ( I q-r/»)— ' + ac — bft mais ( i + ‘ sanroit être
fluente de 2«( i + sans que — — ' le
soit aussi [i8. i. 2]; donc ac — bf — 4 ^-*'+ 4 ^J' = a’(i +u'*)~' — 2n£u(i +«’)"■ ' + +u’)“ ' = (a
buY ( I + «’)-’ = {adx — bdyY (dx*+ dj>) “ ’ 5 c’est-à-
LITRE 5CXT. agg
dire, équa.
tion de la cycloïde.
4* Renfermer entre nn arc donné de grandeur, et ses coordonnées perpendiculaires, un espace maximum ou minimum.
Soit f jrdx l’espace : puisque l’arc f y/ {dx' + dj')
est connu, on aura, en désignant par a une ligne
àormée, fjrdx-\- a {dx*+djr') = ^ ^
dx-=. maximum ou minimum; =
i+^;j 1 d'y-’^-dy-y et par conséquent 6=
dx^ \
rfx’ ^ dx^
djr+h; dxz=z
( ''a'-fh-xY ) > et x = c- y/\a^-{h -y)% éq..a-
tion dn cercle. Les deux valeurs du radical donnent les deux solutions du problème.
Schoï. S’il s’agissoit de plusieurs variables, telles que x,y, Z, U, etc., et de dS = Aif^+v+etc. +AV"' + 'z +etc. +A"<i""+ 'M+etc. + etc. , les équations d"A — «f"~'B+etc.==o, — etc. = o, d''"k” — etc. = o, résondroient le problème; ce qu’on verra facilement, en regardant successivement chacune des variables z, «, etc. , comme si elle étoit la seule , et toutes les antres comme déjà trouvées.
