TV PO

par si l’on suppose PQ:ST::TV :QR,onaura -g^=

TV ^ , PO QR . trianglePQR

QK’ «P"“”«q™"‘sïX,f7= . . .„g|,sTV

— triangle PQR=STV [4- 8 ].

Si l’on suppose le triangle PQR = STV, on aura

r/ PQ TV^, -,

X ^ = I [4- 5] , et par conséquent g?p = qJ; [4- oJ>

donc PQ;ST;:TV:QR.

II. D’un point donné hors d’une droite donnée de position, mais infinie, baisser une perpendiculaire sur celte droite.

Soit BC la droite, et A le point donné. Par un point quelconque B de BC, élevez la perpendiculaire BD. Si cette droite rencontre le point A, ce sera la perpendiculaire demandée; s’il arrive le contraire, comme on le suppose ici, joignez AB et faites l’angle BAC=l’angle ABD. La droite AC, qui doit rencontrer BC, par exemple en C, sera parallèle à BD [i.8] ; donc l’angle ACE =CBD [i. 9]: mais CBD est un angle droit [const. ]; donc ACE le sera aussi, et par conséquent la droite AG doit être perpendiculaire sur BC.

III. Deux triangles, on deux parallélogrammes quelconques, sont en raison composée de celles de leurs bases et de leurs hauteurs.

Soient AB, CD, les bases des triangles ABE, CDE: l’un des deux angles ABE, BAE, sera moindre qu’un angle droit [ i. laj. Supposons donc que BAE soit un

IITBE V. 93

angle aigu : du point E menons EG perpendiculaire à AB, ou au prolongement d’AB; et depuis le point G, sur le prolongement d’AB, prenons GH = AB, et ti-

triangle ABE AB AE rons EU : on aura =ÂH ÂË ^

[ 4 > B ] : mais on a aussi

. triangle EGH GH

L f - J — triangle AEH ~ AH’

donc triangle ABE = EGH. Menons FI perpendiculaire sur CD ou sur son prolongement, et depuis le point I, sur le prolongement de CD, prenons IL = CD, et tirons FL; on aura, comme ci-dessus, le triangle CDF = FIL. Or, les angles EGH et FIL

. 1 . r 1 triangle EGH GII

étant droits f const. J , on a — : — ^ X '■ triangle FIL IL

iG - triangle ABE GH EG . it.

n’ isrilïCDF = Tl TT ’ gh=ab.

triangli

et IL = CD [const.]; donc

FÏ