ABE AB CDF ~ CD

X d’où il

suit que les triangles ABE, CDF, sont en raison composée de celles de leurs bases AB, CD, et de leurs hauteurs EG, FI [const. et 5 . déf. i ].

On peut donc conclure , en raisonnant comme nous l’avons fait dans la démonstration de la prop. I de ce livre , que les parallélogrammes sont aussi en raison composée de leurs bases et de celles de leurs hauteurs.

Corol. I. Si les bases et les hauteurs sont réciproquement proportionnelles, les triangles et les parallélogrammes seront égaux ; et s’ils sont égaux, les bases et les hauteurs seront réciproquement proportionnelles.

3, Si les bases sont égales, les triangles et les parallélogrammes seront entre eux comme leurs hauteurs ; et si les hauteurs sont égales , ils seront comme leurs bases.

IV. Lorsque deux triangles, ou deux parallélogrammes, sont en raison composée des rapports qui existent entre deux c6tés de l’un et deux côtés de l’autre , les deux angles compris par ces côtés seront égaux, ou vaudront ensemble deux angles droits.

triangle ABC AB ^ BC . . ,

— gg X ^ : je dis que les angles

Soit

triangle DEF

ABC, DEF, seront égaux, ou feront ensemble deux angles droits; car, supposant ABC, DEF, différents entre eux, par exemple, l’angle ABC < DEF, on pourra faire l’angle CBG=DEF, etBG=AB. Menant donc CG, AG, et baissant des points A, G, sur BC, prolongée à volonté, les perpendiculaires AH , GI, on aura AH parallèle

, , r O 1 T triangle CBG BG BC ^ ,

a GI [ I. 8. corol.],et ^^.^^g^^ - p^ = ^X

• AT, T.O r TJ triangle CBG AB mais on a AB = BG [const.J ; donc — ; — T—Tvr^= tvü '■ triangle DFE DE

BC , triangle ABC AB BC -

X gp ; et puisque = DE ^ EF ^ ^ '

on aura triangle ABC = CBG. Prenant donc BC pour base de ces deux triangles, les perpendiculaires AH, GI, en seront les hauteurs [ 5 . déf. i ] , et par conséquent égales [ 5 . 3 . corol.] : mais elles sont parallèles [ dém.] ; donc AG parallèle à III [ i. i 6 ] ou à BC. Les deux angles AGB, CBG, feront donc ensemble deux angles droits [1.9] : mais BG = AB [ const. ] donne l’angle BAG = AGB [ 1 . 4] ; donc BAG + CBG vaudront aussi deux angles droits. Mais de ce que AG est parallèle à BC [dém.], on déduit l’angle ABC=BAG [ r.g]; donc ABC + CBG feront anssi deux angles droite; et puisque l’angle DEF=CBG [const.], on aura de même ABC -{- DEF égaux à deux droits.