BC AC BC . BC AB

— ïJp X EF^ bien , en divisant par jjp — ■

; ce qui donne AB : DE:: AC : DF. On tronvera de

môme AC:DF::BC:EF, et BC:EF:: AB:DE.

Corol. De li on conclura facilement que deux triangles e'quiangles, placés sur des côtés homologues égaux, sont équilatères aussi.

VI. Deux triangles sont semblables , lorsque leurs côtés sont proportionnels.

Soit dans les triangles ABC et DEF, AB: AC:: DE: DF, et AC:BC::DF :EF. Si l’on fait les angles ACG=DFE, et CAG=EDF, on aura les triangles ACG, DEF, éqniangles [ 1. 12], et AG:AC::DE:DF ; mais AB:AC::DE: DF [snp. ]; donc AG: AC :: AB : AC , et par conséquent AG = AB [ 3 . 3 . corol.]. On trouvera de môme CG = BC; et puisque AG=AB, et AC commun, si l’angle CAG n’étoit pas = BAC, on n’anroit pas non plus CG=BC [i. i 4 ]j donc l’angle CAG= BAC: mais EDF = CAG [ const. ] ; donc l’angle BAC = EDF. On trouvera de môme l’angle ACB = DFE, et par conséquent l’angle ABC = DEF [ i. 12 ] ; donc les triangles ABC, DEF, sont semblables [ 5 . déf. 2].

Corol. I. Les triangles équilatères sont éqniangles.

2. Deux triangles sont semblables, lorsqu’ils ont deux angles égaux chacun à chacun.

VII. Les trianjjlei qui ont im angle égal Compris entre de« cAiés pruportionnels sont semblables.

Soient dans les triangles ABC, DEF, l’angle BAC = EDF, et les c6te's proportionnels AB:AC::DE;DF. Faisant l’angle CAG =: BAC [= EDF] , et l’angle ACG = DFE, on aura AG;AC::D£:DF [ 5. G. corol. ] : mais AB:AC:;DE:DF [sup.] j donc AG;AC::AB:AC, et par conséquent AG=AB: mais l’angle BAC=CAG[const.], et le côté AC commun, donnent l’angle ACB=ACG [ I. 5] , et on a aussi DFE= ACG [ const.] ; donc l’angle ACB=DFE, et par conséquent les triangles ABC, DEF, sont semblables [ 5. G. corol. ] .

VIII. Si deux, triangles ont un angle égal, et si les côtés du second angle de l’un sont proportionnels aux. côtés du second angle de l’autre, je dis qne le troisième angle de l’un des triangles sera égal au troisième angle de l’antre j ou que, si ces deux angles ne sont pas égaux, ils feront ensemble deux angles droits.

Soit dans les triangles ABC, DEF, l’angle ABC=2

DEF, et AB : DE :: AC : DF. On aura

triangle ABC triangle DEF