Livre iv

pourra placer It la fois sur le même plan , le sommet B, un point quelconque do côté A3 , et un autre de BC, et par conséquent les droites AB, CB, se trouveront toutes deux sur le même plan [i. déf. 5].

II. Toute droite qui tombe à angles droits sur le point d’intersection de deux droites qui s’y croisent, est perpendiculaire au plan de ces deux droites.

Soient ABC, ABD, des angles droits: AB sera hors du plan de CBD; car autrement il y auroit des angles droits différents entre eux, ce qui est impossible. Sur CB et BD prolongées à volonté , prenez les parties égales BC, BD, BE, BF ; par le point B dans le plan CBD tirez une droite quelconque GH, et ensuite CD, EF. Ces droites seront situées dans le même plan CBD [i. déf. 5], et rencontreront GlI, on son prolongement dans deux points G, H. D’un point quelconque A de la droite AB tirez AC, AD, AE, AF, AG, AH: on aura dans les triangles BCD, BEF, les côtés BC = BF, BD— BE [const.] , et l’angle CBD=EBF [1.7]; donc CD=EF, et l’angle BCG=BFH [i. 3]. Or, les triangles BCG, BFH, ont l’angle CBG = FBH, et l’angle BCG— BFH j^dém.]; donc ils sont éqnianglcs [ i . 12]: mais le côté BC est égal à son homologue BF [const.]; donc CG=±: FH, et BG = BH [5. 5. corol.]. On a aussi dans les triangles BAC et B AF les côtés BC = BF [const. ] , B A commun, et l’angle ABC=ABF [sup. ] ; donc AC=AP [i. 3]. On trouveroit de même AD=AE : mais CD= EF [dém.] donne l’angle ACG=AFH [5. 6. corol. ], et on a encore AC=AF etCG=FH[dém. ]; donc AG =AH [i. 3] : mais on a aussi BG=BH [dém. ], et BA commun j donc l’angle ABG= ABH [5. 6. corol. j , d’où il

s’ensQÎtqne ces deux, angles sont droits [i. 6. corol. ]; donc AB rencontre perpendiculairement le plan CBDj car elle y fait des angles droits avec nue droite quelconque GBII mene'e par le point commun B [6. def. i ].

Corol. Deux droites, qui ne sont pas en ligne droite, ne sauroient être perpendiculaires à une troisième dans un plan.

III, Trois droites perpendiculaires à une quatrième dans un point, sont nécessairement situées dans un plan.

Soient ABC, ABD, ABE, des angles droits: AB doit être hors du plan DBE [6. 2 . corol.]. Supposons, s’il est possible, que BC soit aussi hors de ce plan. Si du centre B avec un rayon quelconque on décrit un cercle dans le plan CBA , la circonférence de ce cercle rencontrera le plan BDE dans un point quelconque F. Menez BF qui devra se trouver dans le plan ABFC et dans celui de BDE [i. déf. 5]. Puisque ABD et ABE sont des angles droits, AB sera perpendiculaire au plan BDE [6. 2 ], et par conséquent ABF sera un angle droit [6. déf. i ] j c’est-à-dire, que AB fera des angles droits dans un même plan avec BC [sup. ], et avec BF [diim. ] : mais cela est impossible, parce que BC et BF ne sont pas en ligne droite [6. q. corol.] ; donc BC est dans le plan DBB.

IV. Si une droite est perpendiculaire a un plan, toute droite parallèle a celle-ci sera perpendiculaire au même plan.

Soient B, D, les deux points où les parallèles AB, CD, rencontrent un plan quelcomjiie, et supposons AB perpendiculaire à ce plan : je dis que CD le sera aussi. Tirez BD, qui devra se trouver dans ce même plan, et menez-y DE perpendiculaire a BD, et égale à BA; joU