LIVRE VT

gnez AB, AE, BE. Puisque AB est perpendiculaire au plan BDE [siip.], les angles ABD, ABE, seront droits [6. déf. i]: mais BDE est droit aussi [const. ]; donc BDE=ABD. Et puisqu’on a le côte BA=DE [const.] et BD commun ; donc AD=BE [ i. 5]. Or, AD=BE, DE:^=AB, et AE commun, donnent l’angle ADE = ABE [5. 0. corol.] , et on a ABE droit [de'm.] ; donc ADE sera aussi un angle droit: mais les droites AD, BD, .sont dans le plan des parallèles AB, CD, parce qu’elles y ont deux points communs [ i. déf. 5] ; donc la droite DE étant perpendiculaire li BD et à AD [const. et dém. ] , sera perpendiculaire au plan des parallèles AB , CD [6. a] , et par conséquent CDE sera un angle droit [6. déf. i]: mais AB, CD, sont deux droites parallèles [sup. ] , èt ABD est un angle droit [dém. ] ; donc BDG sera aussi un angle droit [i. p], et par consc’quent CD sera aussi perpendiculaire sur le plan BDE [G. 2 ].

V. Les côtés d’un angle rectiligne moindre que deux angles droits ne sauroient être perpendiculaires à un même plan.

Soient B, C, deux points communs à un plan quelconque et aux côtés AB, AC, de l’angle rectiligne BAC plus petit que deux droits. La ligne droite qui joindra les points B, C, doit se trouver dans le même plan [ i. déf. 5]. Soit BC cette droite. L’un des angles ABC et ACD ne sera point droit [i. la]; donc les côtés AB, AC, ne seront pas tons deux perpendiculaires au même plan.

Soient EDF plus petit que deux angles droits, et le sommet D le seul point où les côtés ED, DF, rencontrent un plan quelconque. Du centre D avec un rayon quelconque décrivez un cercle dans le plan de l’angle

EDF : ce cercle rencontrera le plan en un point G, Tirez DGj quelqu’un des angles GDE, GDF, ne sera point droit, et par conséquent les côtés DE, DF, ne seront pas tous deux perpendiculaires au même plan.

Corol. Us ne le seront pas non pins à une même droite.

YI. Les droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles entre elles.

Soient AB , CD , deux perpendiculaires à un même plan, et B, D, les points où elles le rencontrent. Que l’on répète ici la construction qui a servi à la démonstra* *ion de la prop. IV de ce liv. VI , et on trouvera de suite que ADE est droit: mais les deux angles CDE, BDE, sont droits [snp. et const. ] ; donc BD, AD et CD, sont dans le même plan [6. 3]. Or, AB doit s’y trouver aussi, parce que cette droite le rencontre dans deux points [i. déf. 5]; donc AB, BD et CD, seront sur le même plan : mais les angles ABD, BDC, sont droits, parce que AB et CD sont perpendiculaires au plan de BDE [6. déf. i et snp.] ; donc AB, CD, sont parallèles entre elles [ i. 8],

VII. D’un point donné conduire une perpendiculaire sur un plan donné.

Que le point A soit d’abord situé hors de ce plan. Me^ nez-y une droite quelconque BC, et sur cette droite baissez du point A la perpendiculaire AC; au point C, et sur le plan donné, levez CD perpendiculaire à BC; la droite BC sera perpendiculaire au plan ACD. Maintenant si du point  on conduit AD perpendiculaire sur CD, je dis que AD sera perpendiculaire an plan donné BCD; car, menant DE parallèle à BC, la droite DE sera aussi perpendiculaire au plan ACD [6. 4 ] > par conséquent ^’;tngle EDA sera droit [6. déf. i ] : mais ADC est droit

[const. ] ; donc ÂB est perpendiculaire an plan donné BCD [6. 2].

La construction précédente seroit superflue, si la droite AC tomboit d’abord perpendiculairement sur le plan donné.

Supposons maintenant que le point F soit situé snr le plan donné. D’un point quelconque G, pris hors de ce plan , baissez GH perpendiculaire sur le même plan. Si GH ne passe pas par le point F, menez FI parallèle à GH : la droite FI sera la perpendiculaire demandée.

YIII. Deux parallèles k une même droite sont parallèles entre elles.

Soient AB et CD parallèles k EF. D’un point quelconque F de la droite EF, élevez FG perpendiculaire au plan ABFE, et FH perpendiculaire au plan EFG: les angles EFG,EFH, seront droits [6. déf. i], et par conséquent EF sera perpendiculaire au^planGFII [6. i]; donc AB, CD, seront perpendiculaires au plan GFH [6. 4]> et en conséquence parallèles entre elles [6. 6].

Corol. Lorsqu’une droite est située et prolongée k volonté dans le plan de deux droites parallèles, si elle en coupe la première, elle coupera aussi la seconde; car autrement elle seroit parallèle k celle-ci [ i . déf. 1 1 ] , et par conséquent parallèle k la première [6. 8] , tout en la rencontrant [snp.] ; ce qui seroit absurde [i. déf. 1 1 ].

IX. Les plans perpendiculaires k une même droite sont parallèles entre eux.

Soient A, B, les deux points où la droite AB rencontre perpendiculairement denx plans quelconques: je dis que ces deux plans sont parallèles ; car autrement ib pourront se rencontrer , par exemple en C : on

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pourra donc joindre AC dans l’un, et BC dans l’antre plan [ I. déf. 5], et par conse'quent les angles ABC et BAC d’un même triangle ABC seront droits [6. de'f. i] : mais cela est impossible [i. la]; donc les deux plans ne sauroient se rencontrer, et par conse'quent sont parallèles.

X. Si deux plans sont parallèles, la même droite qui est perpendiculaire à l’un sera perpendiculaire à l’autre.

Que la droite AB rencontre perpendiculairement en B un plan quelconque, et en A un second plan parallèle au premier: je dis que la droite AB rencontrera, perpendiculairement aussi le second plan; car, sans cela , on pourra mener sur celui-ci une droite AC qui fasse avec AB l’angle CAB plus petit qu’un angle droit [6. déf. i]. Cela posé, dn centre B avec un rayon quelconque décrivez «in eercle dans le plan de BAC, dont la circonférence rencontrera , par exemple en D, le premier plan. Si l’on tire BD, l’angle ABD sera droit [ sup. et 6. déf. i ] : mais BAC est aigu; donc les deux droites AC, BD, pourront se rencontrer, par exemple en C, et par conséquent les deux plans s’y rencontreront aussi [i. déf. 5]: mais cela est impossible , puisqu’ils sont parallèles entre eux par supposition [6. déf. a] ; donc AB est perpendiculaire à l’un et à l’autre plan.

Corol. I. Si deux droites sont parallèles , toute droite perpendiculaire à l’une sera perpendiculaire à l’autre.

a. Les deux cAtés d’un angle plus petit que deux droits ne sauroient être perpendiculaires à deux plans parallèles entre eux.