LIVRE VI
FAGN, étant des parallélogrammes [ i. 16 U reste Il démontrer que le polygone GHIMN est semblable et parallèle à ABCDEF [ 6. dëf. 4 ]• Tirer AC , AD, AE, GI, GL, GM. Les droites AG, CI, étant égales et parallèles [ const. ], GI et AC seront aussi égales et pa> rallèles [i. 16] : mais GH est parallèle à AB [dém. ]; doue les plans HGI et ABCDEF sont parallèles [6. 1 1 ]. On démontrera de même que le plan IGL est parallèle au même plan ABCDEF ; donc la droite qui du point G tombe perpendiculairement sur ABCDEF, sera perpendiculaire aux plans HGI et IGL [6. 10 ] , et anx droites GH, GI, GL [6. déf. i] ; donc toutes ces droites sont dans un même plan [6. 3]. On démontrera de même ' que GM est sur le plan HGL, et GN sur le plan HGM; donc GHILMN est un polygone parallèle à ABCDEF [6. 10 ]. De ce que GH est parallèle à AB, et HI parallèle à BC [ dém. ] , il s’ensuit que l’angle GHI sera = ABC [6. Il ]. On démontrera de même que les angles ILM=CDE, HIL=BCD,LMN=DEF, MNG=EFA, NGH=FAB : mais on a GH=AB, et HI=BC [dém.] j donc GH : AB:: HI :BC , et pareillement HI : BC :: IL : CD ; IL:CD::LM:DE;LM:DE::MN:EFjMN:EF::NG:FA, et NG:FA::GH:AB; donc les polygones GHILMN et ABCDEF sont semblables [ 5. déf. 5].
XV. Les deux bases d’un prisme quelconque sont égales entre elles.
Cette proposition est facile à démontrer.
XVI. Les prismes sont en raison composée des rapports de leurs bases et de ceux de leurs hauteurs.
Soient ABCD et EFGHIL deux prismes triangulaires. Relierez les parallélogrammes FM et LN, et lirez la
ga PRINCIPES maThiîmatiqües,
droite ftlN. On démontrera sans peine que EFGMNHL est un parailcdipipède. Sur la droite HE prolongée à volonté prenez OP = EII; et prolongeant de même LF^ IG, NM, menez OQ, PR, perpendiculaires sur LR; QS, RT, perpendiculaires sur IT 5 SV, TX, perpendif ciliaires sur NX , et joignez OS, OV, PT, PX. Le corps OQSVXPRT sera un parallélipipède , dont les côtés OP, QR, ST, VX, rencontrent perpendiculairement les bases QV, RX j ce qui est facile à démontrer. Cela posé, transportez le corps HILOQS dans le lieu que EFGRPT occupe, mais de telle manière que les points O , Q , S , tombent sur les points P, R, T [ce qui est permis, QX étant un parallélipipède, et par conséquent OQ=PR, QS = RT, et l’angle OQS= PRT]. On doit donc conclure que la droite HO perpendiculaire au plan OQS,. [dém. ], et EP perpendiculaire au plan PRT [ dém. ], ne font qu’une seule et même droite [ 6 . 5] : mais on a HE=OP, et par conséquent IIO = EP ; donc le point H tombera sur le point E. On démontrera de même que I tombe sur G, et L sur F. Or, en raisonnant comme dans la démonstration de la prop. III du liv. I, on voit que les faces du corps HILOQS doivent coïncider avec celles du lieu occupé par EFGRPT ; donc HILOQS = EFGRPT. On démontrera de même, en ajustant le triangle PRT sur le triangle PXT, que le prisme OSR = OSX. Et puisque HILOQS est.= EFGRPT, si l’on en retranche la partie commune OSF, on aura le prisme EGL = OSR; et, en raisonnant de même, le prisme EGN — OS.X: mais le prisme OSR est = OSX [dém.]; donc le prisme EGL = EGN , et par conséquent le parallélipipède LM sera le double du prisme EGL : on aura
LtVPE VI. • 93
aussi la Lase FM du parallélipîpède , double de la base EFG du prisme J et le parallëlipipèdc LM=:QX. Prolongeant les droites GF, IL, NH, ME, et construisant de même le parallëlipipèdc ZY=LM, de sorte que les faces Za, SY, soient perpendiculaires aux prolongements de ces droites, on démontrera facilement que les bases FM, 67, sont e'gales. Prolongeant les cètës Z^ , GS, sY, Ça, et construisant de même le parallélipipède t,0 = ZY, dont les faces 7 )t, 6x , soient perpendiculaires aux prolongements de ces côtés, on aura ZY double du prisme EGL, et la base r/k = ^y, et par conséquent t,>. double de la base EFG du prisme EGL. On démontrera avec la môme facilité, que le parallélipipède 7, G est rectangle. La hauteur du parallélipipède 7,9, et celle du prisme EGL, sont perpendiculaires au plan EGX, et par conséquent parallèles [G. 6] : mais elles se trouvent interceptées entre des plans parallèles EGX, IVsG; donc elles sont égales. Construisez de même le parallélipipède rectangle xp double du prisme BCD, ayant la môme hauteur, et une base v 5 double de la base ABC, et placez-le de manière que les bases vS, soient dans un même plan; que les sommets des angles 7, xX, vx'5, tombent sur le même point x, et que les côtés tix, xv, soient en ligne droite : les côtés xX, x^, seront aussi en ligne droite [i. 7], aussi bien que les côtés ox, xx [6. 5 ], par cela même qu’ils tombent perpendiculairement sur le plan EGX [6. 2 ]. Prolongeant les droites Zv, Ç", eG, GX, coupez un nombre quelconque de parties vT, C<s, égales à xv; prenez xt multiple quelconque de r,x plus grand ou plus petit que X 5, et achevez les parallélipipèdes t9, 0v, vu, uu, xp. On démontrera facilement que les parallélipipèdes 6v, .yu, us, sont égaux, et que par conséquent le paralléli-
g4 PRINCIPE» MATHÉMATIQUÈS ,
pidè 9(r est aussi multiple de 9v, que la droite xo l’est de XV ; et que le parallélipipède t 9 est aussi multiple de f)9 , que la droite tx l’est de nx : mais le paralle'lipipède t 9 ne sanroit être plus grand ni plus petit que le parallélipipède 9ir^ que lorsque la droite tx sera plus grande ou plus petite que la droite xs ; donc le parallélipipède s)9 est au parallélipipède 9v, comme la droite vix est à la droite xv. On démontrera de même que le parallélipipède xp est à xp comme la droite xic est à xo ; mais les bases mX, Xv^ sont entre elles comme les droites r,x, xv [ 5. 2 . corol.] ; donc les parallélipipèdes t/9, 9v, seront entre eux comme leurs bases , vX. On démontrera de même qne les parallélipipèdes 9v, x<p, sont entre eux comme les bases Xv, v^, et par conséquent que les parallélipipèdes sont aussi entre eux comme les bases
S)X , [3 . 1 o] : mais les parallélipipèdes xp , xp, sont entre
eux comme x:c et xo [dém. ]; donc le rapport du parallélipipède v)9 à xp sera composé du rapport de t)X à v^, et de celui de xit è xo [4- 2 Ô]. Or ,1e parallélipipède r)9 est le double du prisme EGL [ dém. ] ; le parallélipipède xp, double du prisme BCD [const. ] ; la base v)X, double de la base EGF [dém. ] ; la base v^, double de la base ABC [const.]; et la droite xic, hauteur du parallélipipède [const. et 6. dëf. 3], est égale à la banlenr du prisme EGL [ dém. ] ; et on a de même xo égale à la hautenr du prisme BCD; donc le prisme EGL est an prisme BCD en raison composée des rapports de leurs bases EGF, ABF, et de leurs hauteurs xic , xo [ 3. 5. corol. ]. " Soient les prismes ABCDEFGHIL et MNOPQRSTV XZY. Joignez AC, AD, FH, FI, MO, VZ: on démontrera qne ABCFGH , ACDFHI, ADEFIL et MNOVXZ, sont des prismes triangulaires. Désignant par a la per-
LfVRE VI. gS
pendiculaire baissée da point A sur le plan de la base FGIIIL , et par 6, la perpendiculaire baissée du point
M sur le plan de la base STVXZY, on aura
^ ' prisme MjSA
base FGH^^ a ^ J , , j .r ^ prisme CDF
— î: vrv-y X>-[ dcm. et 4 . def. 7 Jj ït^=
base VXZ è'- ‘ prisme
base FIL a ,
X — ; donc
base FUI a prisme DEF
base VXZ ^ ê ’ prisme MNZ base VXZ'^ ë
prisme BCF + prisme CDF + prisme DEF
prisme MNZ
base FGH a ^ base FIH a base FIL a
base VXZ ^ g" base VXZ ^ base VXZ^6^~
/base FGH base FHI base FIL \ a
Vbase VXZ base VXZ base VXZ J
base FGH + base FHI + base FIL a * . - j* '
IWfXZ
prisme ABCDEFGHIL
-X J, base FGHII.
~ -, donc
prisme MNZ base VXZ
base FGHIL a . .
prisme ABCDEFGHIL = yXZ ' ^ 6" ^
MNZ. On trouTera de même le prisme MffîOPQRSTV
^^ baseSTV^ ^ 6 ^ prisme MNZ: donc base VXZ 6
prisme ABCDEFGHIL prisme MNOPQRSTVXCT '
base FGIIIL a . nynvrT
-WVXZ XëXpr..»eMNZ
‘base STVXZY 6 . Tvnoy
-ESÎVxz-x-ê’<P"‘“'”™
base FGHIL
base VXZ ^'6 base FGHIL^^ base VX Z
■“base STVXZY base VXZ ^base STYXZŸ
base VXZ
a base FGHIL a ^ T "“base STVXZY ^ T.
g6 PRINCIPES MATn^MATIQCES,
Corol. I. Les prismes qui ont des bases e’gales sont entre cnx comme leurs hauteurs; et ceux qui ont des hauteurs e'gales sont entre eux comme leurs bases.
2. Les prismes qui ont des bases et des hauteurs re'ciproquement proportionnelles sont égaux; et s’ils sont égaux, ils auront des bases et des hauteurs réciproquement proportionnelles.
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LTVRE VII.
