Ilsnele seronlpas non plus à deuxdroiles parallèles

XI. Les angles qui ont les côtes parallèles, et l’ouverture placée dans le môme sens, sont égaui et siiuc's dans le môme plan , ou dans des plans parallèles entre euv.

Soient AB parallèle à CD, et AL parallèle à CF. On prendra AB = CD et AE = CF, mais à condilion que les trois points E, B, D, ne soient pas en ligne droite, lorsque les deux angles seront dans le même plan ; on tirera BE, DF, AC, BD, FE. Puisque AB et CD, AE et CF, sont égales et parallèles [const. ctsup.] , on aura BD et AC, AC et EF, égales et parallèles [i. 16] ; donc BD et EF seront égales et parallè.Ie.s [6. 7 ] , et par eon- , séquent BE = DF [i. iti]j donc l’angle BAE=DCF [5. 6. corol. ].

Soient les deux angles IIGM, LEV , placés dans différents plans, et supposons le eôlé 011 parallèle .à IL, et GM parallèle à IN. .Si l’on mène GO perpendiculaire au plan LIN en O, et OP parallèle à IL, la droite OP sera parallèle h GH [G. 8] : mais l’angle GOP est droit, parce que GO est perpendiculaire au plan où se trouve située la droite OPj donc OGII sera aussi un angle droit [1.9]. On prouvera de môme que l’angle OGM est droit; donc GO sera aussi perpendiculaire au plan HGM [6. 2], et par conséquent les plans liGM et LIN seront parallèles entre eux [6. 9].

Corol. Deux triangles sont semblables, lorsqu’ils ont les trois côtés parallèles cbacnn à chacun; ou aussi, lorsque deux côtés de l’un sont parallèles et proportionnels à deux côtés de l’autre, pourvu que leurs ouvertures soient placées dans le môme sens. :

90 PRINCIPES MATHÉMATIQüES,

XII. Deax droites parallèles interceptées entre des plans parallèles sont égales.

Soient AB, CD, deax droites parallèles interceptées entre deux plans parallèles qu’elles rencontrent aax points Â, G, et aux points B, D. Menez ÂC dans l’un, et BD dans l’autre plan [ i. déf. 5]. Les deux droites AC, DB, seront dans nnméme plan, c’est-à-dire, dans le plan des parallèles AB , CD [ i . déf. 5 ] : mais elles ne sauroient se rencontrer [ 6 . déf. a]; donc AC, BD, sont parallèles [i. déf. 5], et par conséquent égales, parce que ABCD est un parallélogramme [ i. i5].

XIII. Tant de droites qu’on voudra, rencontrées par ^ des plans parallèles , sont coupées proportionnellement.

Supposons que trois plans parallèles rencontrent deux droites AB, CD, aux points A, E, B, C, F, D : celui du milieu coupera dans quelque point G la droite BC, qui joindra les points B, C. Tirons CA, £G; ces deux droites seront dans le plan ABC : mais à quelque distance qu’on les prolonge , elles ne sauroient se rencontrer comme situées dans des pians parallèles ; donc CA et £G étant parallèles [i. déf. 19 ], on aura l’angla BAC=BEG, et l’angle BCA=BGE [ 1 . 9 ]; donc AB; BE::BG:BG [5. 6 . corol.], et par conséquent AE:BE:: CG:BG [3. 4]- Gn trouvera de même DF :CF ::BG:CG, et CF:DF::CG:BGj donc AE;BE;:CF:DF.

XIV. Compléter un prisme sur une base donnée, et avec un côté donné.

Soit ABCDEF la base , et AG le côté. Par les sommets B, C, D, E, F, menez BH, CI, DL, EM, FN, égales et parallèles à AG, et joignez GH, HI, IL, LM, MTÎ, TiG. Les figures ABHG, BCIH, CDU, DEML,EFMM,