corol

Composition. Tirez la corde AC, et par le milieu d'AC menez la perpendiculaire BD. L’arc AEB sera = CFB; car, tirant les cordes AB, BC, on aura dans les Uiangles ABD, BCD, le côté AD=DC [const.], BD

9^ PRI>'CIPES MATHÉMATIQCtS ,

commun , »t l'angle ADB = BDC [const. ] , et par con» séqucnt le côté AB=BC [ i. 5] ; donc l’arc AEB = BFG [ 2 . 8. corol. ].

Corol. Il sera donc facile de partager nn angle donné en deux parties égales.

II. Sur une corde donnée tracer un arc capable d’un angle donné, c’est-à-dire, nn arc où l’on puisse inscrire an arc donné.

Soient AB la corde, et C l’angle donné.

Investigation, Si l’angle C valoit deux droits, le problème seroit insoluble; s’il ne Taloit qu’un droit, l’arc demandé seroit un demi-cercle [ 2 . 4- corol.].

Supposons C plus grand ou plus petit qu’un angle droit, et désignons par ABD l’arc demandé. Si l’on fait l’angle BAE=C, le côté AE touchera en A l’arc ADB [ 2 . 6]. Soit AF perpendiculaire à AE. Le centre du cercle respectif ne peut ôtre situé que sur la droite AF; et si l’on divise AB également en G par la perpendiculaire GF, il devra se trouver aussi sur la droite GF.

Composition. Si l’angle C est droit, divisez AB également en H ; et du centre II avec le rayon HA, décrivez le demi-cercle ADB. L’angle inscrit à cet arc sera droit [ 2 . 4* corol. ], et par conséquent =C.

Sic n’est pas un angle droit, faites BAE=C, et élevez AF perpendiculaire à AE: l’angle BAF sera aigu. Elevez encore GF perpendiculaire sur le milieu d’AB : les droites AF, GF, pourront se rencontrer en F [ i. ax. ]. Joignez BF. Dans les triangles AFG, BFG , on aura AG=:BG [const.], GF commun, et l’angle AGF=BGF [const.]; donc AF=BF [ 1 . 5]. SoitDI un cercle décrit du centre F avec le rayon AF. Ce cercle devra passer

litre vit. gg

J)ar le point B, et toucher en A la droite AÇ [ 2. 6. corol. ]j donc tout angle inscrit dans l’arc ADB sera = BAE [2. 6] , et par conséqucnl= C [const.].

ITI. D’un point donné mener une tangente à un cercle donné.

Soient BC le cercle, et A le point donné.

Investigation. Si le point donne est dans l'intérienr du cercle, la question est impossible; s’il est à la circonférence, la tangente et le rayon y feront un angle droit.

Supposons A hors du cercle, et désignons par AB la tangente demandée. Tirant le rayon BF, on aura ABF un angle droit [2. 6. corol. ].

Composition. Si le point A est à la circonférence, on tirera le rayon AE; et menant AD perpendiculaire à AE, la droite AD sera la tangente requise [ 2. 6. corol. ].

Si le point A est hors du cercle BC, tronvez-en le centre F. Joignez AF ; et prenant AF pour diamètre, décrivez le demi-cercle ABF, qui coupera la circonférence BC dans un point B. La droite AB sera la tangente demandée; car tirant BF, l’angle ABF sera droit [const. et 2. 4 * corol. ] , et par conséquent AB touchera le cercle [2. 6. corol.].

Corol. I. D’un point donné hors d’un cercle quelconque , on peut mener deux tangentes à la circonférence de ce cercle.

2. Et ces tangentes seront égales; car, menant les tangentes GH , GI , aux points H , 1 , du cercle HI, et tirant les rayons IL, LH, on aura les angles droits GHL, GIL [2.6. corol.], et les angles aigus HGL, 3 uGI [i. 12]; donc l’angle GHL=G 1 L, LH=LI,

loo Principes math^matrjües

GL:LH;:GL:LI, et par conséquent GH:GL::GI:GL [5. 8]; d’où l’on tire GH = GI [5. 3. corol. ].

IV. Sur une circonférence proposée couper un are susceptible d’un angle donné.

Soit A l’angle, et BCD le cercle.

Composition. Par un point quelconque B de la circon.» férence donnée, menez la tangente BE [ ’j. 5], et faites l’angle EBC=A. Tout angle inscrit à l’arc BDC sera £=EBC [ 2 . 6], et par conséquent=A [ const. ]; doue BDC est l’arc demandé.

y. Dans un cercle donné inscrire un triangle semblable à un triangle donné.

Soient ABC le cercle, et DEF le triangle.

Composition. Coupez les arcs ABC et ACB, on l’on puisse inscrire l’angle ABC=DEF, et l’angle BCA = DFE; tirez les droites AB, BC, CA : le triangle ABC sera semblable au triangle DEF [5. 5].

VI. Circonscrire à un cercle donné un triangle semblable à un triangle donné.

Soient ABC le cercle, et DEF le triangle.

Investigation. Supposons que les côtés GH, HI, IG, du triangle GHI, touchent la circonférence ABC aux points A, B,C, et que l’angle GHI soil=DEF, etGIH = DFE. Trouvez le centre L du cercle ABC, et tirez les rayons AI<, BLj les angles HAL, HBL, seront droits [ 2 . 6. corol.] : mais les angles du quadrilatère AHBL valent ensemble quatre angles droits, comme il est facile de s’en convaincre en partageant le quadrilatère en deux triangles [ i. 12 ]; donc les denx angles AIIB, AIjB, font ensemble denx angles droits. Prolongez EF 'Mirs M. Les angles DEF, DEM; valent deux droits, et