VII. Trouver les racines de x^-hax'+ bx+c

A Ip place de x mettez z — ^ a, et vous aurez

(J — ^a')z+ ^ a } — jflA + c. Cherchez les racines de cç^ polynôme, en prenant z pour nombre principal, et rer tranchez jn de chacune de ses racines; les restes seropt celles de x^+ax'+l>x+c.

VIII. Trouver les racines de x^+ax^+f>x'+cx+df Désignant par r le nombre qui satisfait à l’équatioq

r’ — j A/* + (^ac — d)r—{ ((a* — d+P)=o,

je dis que les racines du polynôme proposé seront — ±V(2r+in’-i)±V((i«+T>/(2r+i«> — i))* — r + y/{r‘‘ — d))-, car désignant cette expression par X, on aura ^+^«+7 \/ — *)=+’ \/ ((t«+

■î\/(2r+ia>*))" — r+y/C'-*— ^^)); {ir

3 + iy/ ( 27 -+ia> — J))’ = (iaqp f

y/ (2r+^a* — b)Y — r+v/ (/•’ — d)}X^+ (7 « + y/ (ar

l 36 PRINCIPES MATHéHATIQUES ,

+ — b))z = — (r* — d)-, z’+| az+r=+z

V' (ir+^a^ — b) ±y/ {r^—d)-, {z^ + ^az+ry — z^■{. oz^+ (ia’+2r) z'+arz + r^= (ar+A a' — b) z’+az ^/((ar+ia’ — b) (r’ — d)) + — d-, z^ + az^+arz

= — iz’ + az y/ (( ar+^ a’ — b) (r* — d)) — d: mais r* — ï ir’ H- ac — d) r — 5 ((a* — 4 ^) d+c^) = Oj donc

8/'^ — 4^'"’+ (2flc — Sd) r — a’ d+^bd' — c’= o j 8H — 4 ^r’ — 8 ^/r — a* d+^bd= — aacr+c’; 8 H+ (a* — 4 ^) r’ — Qdr — ‘a’ d+l^bd—a' r’ — aacr+c* = (ar — c)’ : mais 8 H+ (a’ — 4 ^) — a’ rf+ 4 ^^/= 4 (^^+7

a’ — b) ( ;•’ — d) J donc 4(2r + A<j» — b) (r’ — rf) = (a7‘ — c)’; 2*+az’+a/-z= — iz’+(ar — c) z — d-, z^+. ^ az^= — iz’ — cz — rfj z^+az* 4 -iz’+cz+</= O J donc Z est racine de x^-|-ai'^ + J^’+ca+c? [ 10. 1].

IX. Si deux polynômes ne diffèrent qu’en ce que les coeflîcicnts de leurs termes pairs sont affectés de signes contraires entre eux, je dis que les racines de l’un seront égales et contraires à celles de l’autre. On entend par termes pairs, les seconds, les quatrièmes, sixièmes, huitièmes, etc.

Soient x’'+ax^-^bx’^-\-cx-\-d, x^ — aa:^ + ix ’ — ex ■ 4 -d les polynômes. Désignant par « une racine quelconque du premier, on aura aS+aot?-\-ba^-\-ca-\-d=-o [lo. I ]. Substituant — æ à la place de x dans le second , on aura a'-t-aa’-f-èa’-f-ca-f-d : mais celte somme est c=o [dém.]jdonc — a racine du second [ 10. i ].

Soit x^-faxi-f-Ax-^-l-cx’-l-dx-t-e le premier, x^ — 0X^4-^^* — cx^-^-dx — e le second, et «-racine du premier. On aura «*-l-aa^4-ia^-f-<^a’+da-l-fi=o [ 10. 1], let — «* — a«'* — bai? — c«* — da — e = o: mais en substituant — « à la place de x dans le second, on 4