LIVRE X
anssi — — aa^ — ha? — ca' — da — e=:o [ dëm. ] ;
donc — a racine du second [10. i].
X. Le polynôme dont tous les termes sont positifs ne sauroit avoir des racines positives.
Désignons parar^ + {a — a) — ««) x’ + (c — bot)
X — ca[=(x — et) (x’+ax’ + ix+c )] un polynôme dont la racine a est positive.
* Pour que les termes {a — *)x’, ( i — aa)x’, (c — ba.)x, soient positifs, il faut que a, b, c , ne soient point né> gatifs : mais — ca ne sauroit être positif sans que c soit négatif; donc, pouf que tons les termes du polynôme proposé fussent positifs , il faudroit supposer c négatif, et non négatif, ce qui est absurde; donc, ou la racine a n’est point positive, ou tous les termes du polynôme proposé ne sanroient être positifs.
XI. Un polynôme quelconque étant proposé, si après avoir multiplié chacun de ses termes par i’es.posant de la puissance à laquelle le nombre principal y est élevé, on divise chacun des produits par le nombre principal ; si après avoir multiplié chacun des termes du résultat, par l’exposant de la puissance à laquelle le nombre principal y est élevé , on divise les produits par le double du nombre principal; si l’on répète une semblable multiplication sur chacun des termes du nouveau résultat , en divisant les produits par le triple du nombre principal, ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on parvienne à un binôme : je dis que la plus forte racine positive du polynôme proposé ne sauroit être plus grande que le nombre positif, qui étant substitué à la place du nombre principal, donnera des valeurs positives, non seulement au polynôme proposé, mais à tous ceux qui en résulteront d’après cet énoncé.
Soi par exemple, le polynôme '
— ax^ — iox’+5ox’+63x — lao.
On aura, en se conformant à la supposition , le polynoma 5x* — 8x^ — 3ox’ +6ox — 63 ; lequel donne, suivant toujours la même supposition,
1 ox* — 1 ax* — 3ox+ 3o ;
d’où l’on tire
lox’ — 8 x — 10 J
d’où enfin
5x — as
et on observera que le nombre a , substitué à la place de X dans ces polynômes, les rend tous positifs; et qu’en effet la plus grande racine du polynôme proposé est plus petite que a.
Soit le polynôme proposé
a^+ax^ + ix’+cx4-<f=G.
Faisant x=3+e, on aura ( 4e+a) 2 ’+ (6e’+
Zae+b) 2 ’+ (4c*+ 3ae’ + a6e+c) z+e'^+ae^-\-be'-\ce+d—Y.
Posons e^+ae^ + ie*+ce+<f=H, etz+e=x, racine de G : il viendra G=o [ 10 . 1 ] , et F=o ; donc 2 racine deF[io. i].Or, pour que le nombre e rende positifs tous les coefRcienls ^e+ a; 6e*+ 5ae+ b; 4e*+ 3ae’+ aèe+ c, et H, il faut que 2 soit négatif [ 10 . 10 ] ; donc, puisque x=2+e, si X est positif, et 2 négatif, il faudra que e soit > X ; mais H ne diffère de G qu’en ce que e s’y trouve à la place de x, et les coefficients de 2 ^, 2 ’, 2 , dérivent du polynôme G, suivant l’énoncé de la proposition; donc le nombre que l’on aura trouvé de la manière prescrite dans ledit énoncé, sera plus grand qu’aucune des racines positives du polynôme proposé, pourvu qu’il eu ait de positives.
Digilized by Googl
LTVUE X. l3g
Corol. Si lepolynoaic proposé a deux racines c'gales, l'une d’cnlre elles apparlicndra cgalcmcnlau polvnome que l’on trouyera en multipliant chaque terme du polynôme proposé par l’exposant de la puissance à laquelle le nombre principal y est élevé, et en le divisant par le nombre principal multiplié par l’exposant de la puissance à laquelle ce même nombre est élevé dans le premier ternie.
Supposons, par exemple, qu’il y ait des racines égales dans le polynôme — G:i’-l-38x — 24 : je dis
que l’une de ces racines appartiendra également au po-
, 4^ 5X5^’ aXGx’ iX'^8x oX34'^"
lynomcT 1
car si l’on désigne par e en particulier l’nne des racines, que X représente en général , le nombre z~x — e sera l’excès de l’une quelconque de ces racines sur la racine e; et si le polynôme G a deux racines égales, désignées par e, le polynôme F doit avoir le facteur (z — o) (z — o): mais ce facteur ne donne que z’, et par conséquent le dernier et l’avant-dernier terme du polynôme F doivent s’anéantir, d’après la définition 11 de ce liv. X ; donc
+t7e^ +ie' -f-ce-f-<f=o,
4e^ +5ae^ + 2ae+ce—o,
, aie c
et e^+-^ + -^ + j=o.
Substituant donc x à la place de e, c’est-à-dire, désignant par X l’une des racines égales du polynôme G, on.
„ , 5ax’ aèx . c
praG;=o,et * + + ■*"'4 ~®'
l4o PRINCIPES MATHÉMAnOüES ,
