LIVRE X

donc toutes les racines de cette équation né sont 'pas inégales ; car si elles l'éloient, le polvnome propose ea aurolt trois paires d’égales, ce qui seroit absurde, puisqu’il ne peut avoir que cinq racines [égales ou inégales] [ lo. déf. 2]. En effet, la méthode précédente donne 3 et 3 pour les racines égales de — 8x-f 2 ilr— i 18 :

mais à l’aide de ces deux-ci, on trouve la troisième 2 ; donc 3 , 3 , 3 , 2 , 2 , sont les racino^du poljnome proposé. ' r . .

Corol. Cette méthode offre un moyen de reconuoilre s’il y a des racines communes entre deux polynômes proposés , et par conséquent de simplifier les fractions, lorsqu’elles en sont susceptibles. Soit, x’ — ax' — 8«’x 4- 6a’ ,

- 8a’x’-f i8a’x — 8 a 4 lion proposée: supposant le numérateur = o , elle dénominateur = 0, on aura xf' — ôax’ — 8a“x" -Ji8a’x — 8a^ — x (x’ — ax* — '8a’x -f-6a’)= — 2ox’-(- I2û’x — 8a^=o; ce qui donne — x’-f-6a’x — 4a’=o;

3? — ax’ — 8a’x-f-6a’4- ( — x’-fôo’x — 4«^) = nx*

— 2fl’x-f2a’=o; x’-l-2ax — 2a*=o; — x’-f6a’x — ^a}+X [^x' + iax — 2a’) — a/7.T-’-l-4a’.r — 4a’ = o; et

par conséquent une seconde fois x’-t-2ax 2a’=oj

ce qui prouve que les racines de x’ -|- 2ax — 2a’. sont communes au numérateur et au dénominateur. Divisant donc l’un et l’autre par x’4-2ax — 2a’, on trouvera

par exemple,

ar’ — ax* — 8ax — 6a’ x — 3<7

X^ — 5 ax’ — 8a’x’-|- i8a’x — 8a^ x’ — 5 ax-|- 4 a’’

2. C est encore par ce moyen qu’on élimine les inconnues. Les exemples suivants font voir ce que l’on entend par élimination d’inconnues.

l4.$ PRINCIPES MATHÉMATIQUES,'

Trouver trois nombres x,z,y, qui donnent

aox — 5z —

5z — X + ioy=^5’] :

onanraio( 2 x+s— 6 r) — (203T— 3z — 4r)=’oX6—

37 , c’est-à-dire, i3z— 56=53 j ax-f-z—ôj^q-a (—-x-b 5 z-f-ioj-) = 6 -faX 57 , ou 1 iz-f i4r= lao; i3(iiz-l- — u(i3z — 56^)=i3X iao-r-iiX33; 'c’est-à-

dire, 798 j-=h97j '

Fabant 7 - = ^ dans l’équation i iz-f-i4r=

trouvera i iz-t-ai = lao, et par conséquent z=|S=g j substituant les valeurs de z,jr, dans l’équation ax-fz — • ey=G, on trouvera x=5. Yoici le tableau de ces opé-

rations :

— x-b 5z+ tqr= 5^ 20X-b loz — 6oj-= 60

o i5z — 56j-= 53 2x-b Z — Gy= 6 — ax-J-ioz-b 2 oj"= ii4

O iiz-l- i4j^=

iiXiôz — 6167 '= 363 i3X ïiz-b i8aj-=i56o

On demande deux nombres x, z, qui rendent x’ — x*z— 3z=o, et ar*-bxz — z’-l-3=o. On aura x (x>-f x«— S* + 3 ) — 3 z)=azx* — • (z>— 5 )x-b