XV. Chercber les racines égales

Supposant qu’il y en ail dans le polynôme proposé

5 x’ — tpx+7, désignons par x l’une de ces racine*

égales: on aura x’ — 5 x’ — iox+7=o, et x* — ~

X — -^ = 0 [10. II. corol. ] , c’esl-à-dire , 3 x* — lox

— 10=0, et par conséquent x ( 3 x* — lox — 10) 3

(x’ — Sx” — iox+7) = o, c’est-à-dire, 5 x’ + aox — ai = 0; donc 3 ( 5 x’- 4 -aox — ai) — 5 ( 3 x’ — lox — 10)

= 0, ou iiox — i 3 = o, et par conséquent x = -^ J

doncx = — devroitétre non-seulement une des racines

égales du polynôme proposé , mais aussi de l’une quelconque des équations 3 x* — lox— 10=0, et Sx’-f-

aox — 21 = 0. Or, écrit au lieu de x, ne rend 1 1 U ^

pas 5 x’ — lox — 10=0 ; donc le polynôme proposé ne sauroit avoir des rac-ine.s égales, ^

Soit x^ — x’ — 8x -piale polynôme proposé: on aura X* — x' — 8x-f ia:=:o, et 3 x* — ux — 8=o; donc x ( 3 x* — ax— 8) — 5 (x^ — X*— 8x-f i2)=o ;x’-t-i6x— - 36 =o; d’où 3 (x*-J-i6x — 56 ) — ( 5 x* — ax — 8)=o; 5 ox — 100=0, et x = a. Mais x=a rend 3 X* — ax—

l46 • PRINCIPES. MATIIIÎMA'nQrES,

8 = O J donc a est une des racines égalés dex’ — ax^ — 8x+ia. Or, ce polynôme divise par (x- — a) {x — a)= ir*^4*’+4 J donne A ’+3 j donc a, a et — ^ 3 sont les racines de x^— x’ — 8x-f- la.

Soit x^ — — 6x’-f-a8x — a 4 le polynôme. Onanra d’abord x (4^^ — 9^' — lax+aS) — 4 — 5 x’ — 6x*

+ a8x — a4)==o; d’où 5x’+t2x’ — 84x-f-96 = 0j et x*+ 4 x’ — a 8 x-|- 5 a = o; et par conséquent 4 (x^+ 4 .^'

— a 8 x-f- 3 a ) — ( 4 x’ — qx' — iax-pa8 ) = o; aSx’ — loox-f- 100=0 J et x’ — 4^+4= O- aura ensuite (x^+4.*''’ — a 8 x-|- 5 a 3 — x(x’ — 4 ^+4) = o> et 8x’“ — ■ 3 ax 4 - 5 a = o, c’est-à-dire, une seconde fois x’ — f\x+ 4 = 0, et on ne sanroit parvenir à un binôme comme celui de l’exemple précédent: mais les racines de x’ — 4 x-f-4 sont a et a; donc a, a, a, sont les racines du polynôme proposé. Or, ce polynôme divisé par (x — |a) (x — a) (x — a) = x^ — 6x’-t-iax — 8, donne x-f- 3 ; donc a , a, a, — 5 , en seront les racines.

Soit — iox’-|- 57 X’ — ^ 6 ox-t -56 le polynôme. Oa aura x — 5ox*-t-74x — Go ) — 4 '•ox*-f-57x’:

— 6ox -P 56 ) = O ; X — 1 5 x’ -f 57X — 5 o) — a (x 4 —

iox^-1-37x’ — 6 ox-p 56 ) = o ; 5 x^ — 37x’-p9ox — 7a = 0; a (Sx’ — ^-jx'+Qox — 7a) — 5 (ax’ — i 5 x*-f. 37X — 3 o)=o, et x’ — 5 x-p 6 =o. Or, ax (x*. — Sx +6) — ( ax’ — I Sx* -P 57X — 3 o ) =0 , donne Sx* — aSx -p 3 o=o, et par conséquent une seconde foisx* — Sx +6 = 0, dont les racines sont a et 3 j donc celles du polynôme proposé seront a, a, 3, 3.

Soit x’— i5xt-p67x’ — i7ix*-pai6x — 108 le polynôme. On trouvera, suivant le même procédé, x’ — . 8x*-paix — 18 = 0, et on ne sauroit aller plus loin;