LIVRE XI. I

terme moyen, qui doit être s —

Pour trouver s, on observera que le carré delà somme des deux, nombres est e'gal an carré du premier, plus le carre du second, plus deux fois le produit du premier par le second : mais la somme des moyens est e'gale a5, et leur

produit est égal à 1 5 ( . ± v/ ( t ^ ( « + v/

sera la

= '-s'( i—- — Hf'\ = f!:donc5» —

somme des carrés des deux moyens. Or, la somme des

extrêmes est égale à a — s , et le produit des extrêmes

est égal au produit des moyens ; donc b — {a — s)* +

s* , et par conséquent h \/ -r—-

a+is' ^ ^ aa — \4«-a

Autre solution. Soient xz ^ , xz, xz ~' , xz~^ les quatre nombres en proportion continue : on aura x{z^+z +z~'+z~^)—a, et = é J donc

X* (^z^ + Z + z~~' + z—^ Yb=.a*h-=.x'‘{z^ +z*+z— ’ -P z~®)û’,et parconséquent =

z’ + z“'*-pz~®) a’. Mais (z^+z+z— *^-z~^)’ = z®-f- 2 z*+ 3z* + 4 + 3^“’ + 2 z~^+z~® J donc (a’ — A)z® — ibz^ + (a®-p3i)z’* — ^b + {a' — 5i) z“* — ibz~^+{à‘ — b) z~®

= o, ce quj donne z® :: t ~^ — r

*• a’ — b or — b o * — b

H — î-z~* -z~^+z~*=o. Posant s=z* +

z^f et retranchant le polynôme z® — -, ^ z^-petc.

^58 PRINCIPES MATHÉMATIOUES,

de (z’+z"’)’, c’est-à-dire, de z‘'-|-5z’-l-5z~’-f-z~®, oa •ih ^ 6à . . 4^ Ci

aura

ai , , , ai

rz-* — s% et mettant c au lieu de r. on

aura cz^ — 5cz’-f-ac — 5cz~’-|-cz~^=i^. Retranchant

c (z’-t-z“’)* du premier membre de cette équation, et

C5* du second, on aura — 5cz’ — 3cz— ’ = s^ — es’;

ajoutant 5c (z*-t-z~*) d’une part, et 5cs de l’autre, on

aura s’ — es’ — 5cs=o; ce qui donnera s = o, on s= je

+ Y/(jc’ — 3c). Moyennant s, on aura z etx.

LIVBE xn.