LIVRE XT, X

— 2«+6ar=a, et6«’ — iGux+i^x'—h, Elimmant u,

onaura4ox' — ^oax — 3a* + 2^ = o; d’où +

équations a— — au+6x; z=ix —

^=:a? — X , donneront les valeurs de u, z,jr.

Soit, par exemple, a— 14; et i = 54 : on aura x=

^,4+>/li^:i:i^^=^(,4 + 2)=:5i+i.Posantx=5

+î=4, on aura « [=3a: — ja] = 5; z = 5 , etj-= 2 ; posant x=5j — î=3, on aura u—i, z = ^, etj-=5.

Autre solution. Désignant par x+5i:, x+z, x — z, et X — 3zles nombres demandés, on aura a=4-^'> et A = (x’4-6xz+qz’ ) + (x’ + 2xr+2’) +(x’ — 2xz + z’) + (x’ — 6 xz+ 9 z’)= 4-*^’ + 2 oz’ ; a-=^x donne x=^a,ô

=ia’ + aoz’,et z= + iy/ ^ . Appliquant ces for-

mules i l’exemple ci-dessus, on trouvera x=3j, z= iî» 5 i ±1» 51+7} 5j+7} 3|^ 7, seront les nombres demandés.

X. La somme a de trois nombres en proportion continue, et la somme b de leurs carrés étant données, trouver les trois nombres.

Soit X le premier,, et z le second: on aura x-f z-f-z* X“'t=fl, et x’ + z’-fz^x~’ = i; ou x’+xz — ax-f-z* = 0 , etxA+x’z’ — ix’-|-z^ = o : éliminant x suivant ce qui a été ditprop. IX,liv. X, on parviendraà une équation qui donnerais valeur de Z, et par le moyen de l’équation x’-f-xz’ — ux-4-z’=o, on anra la valeur de x.

Autre solution. x-f-z-f-z’x~'=a , donne x-t-z’x~"‘ = fl — Z} (x-fz’x “')’=(« — z)*} x*-t-2Z*-l-z*x~’ = a*

l56 PRINCIPES MATHéMATIOüES ,

— 2 az+z’; donc x’ + z’+z^x~* = a* — •iaz=.h , et par «’ — b

Conséqnent z = — — .

XI. Si an lien de trois nombres il s’agissoit de qna< tre, aui mômes conditions de la question précédente, on anroit x+z+jr"~'z’ + x~’z’ = a, etx’ + z’+x~’z^ +x— *z4=Aj d’où l’on pourra tirer une équation pour la yaleiir de z, et alors x^-i~(z — a) x*+xz’ + z’=o donnera celle de a.

Mais cette solution seroit pénible : le moyen d’en obtenir une plus simple , ce sera d’introduire dans le calcul quelque nouvelle inconnue qui ait moins de valeurs que z; car l’équation qui fournira la valeur de cette Inconnue , sera nécessairement moins élevée que celle qui auroit donné la valeur de z.

En effet , le premier terme de la proportion dont il s’agit, peut prendre la place du quatrième , et le quatrième la place du premier; d’où il s’ensuit que le second peut devenir le troisième , et le troisième le second. Ainsi tandis que pour satisfaire à cette circonstance, on doit avoir deutt valeurs pour z, la somme du second et du troisième terme demeurera toujours la môme. Supposons donc z-l-x— ' z’=j: on aura x+x~'z^=a — s; donc X = z^ {s — z)“', et par conséquent z’ ( s — z)“'-|-z-' (5 — zY = a — s , et — z)* = (« —

(s — z); d’où — 5s*z + 'isz'‘ = asz—az* — j’z-|-sz*.

ce qui , as* —

donne z=is±v/

/,s>2î3 a — is , (

\/ T, — ; — r=i^ + 7^v/ . — =ïSv/( i±v/ — \ — )•

4 +■-**) ~ a + 25 \ a + 'is/

Donc la valeur de ^donnera cellesde z, dex, et de l’autre