CHAPITRE PREMIER

LA METHODE DES SCIEACES MATHÉMATK^UES

I. Objet des sciences mathématiques. — Définition et division des sciences inathômatiques. — Origine et nature des notions matiiéuiatiques.

H. Les nÉFfxiTinxs géométriques. — Définitions, axiomes, démonstrations. — Définitions géométriques. — Règles de la définition.

III. Les axiomes bt les postulats. — Vérités premières et axiomes. — Les postulats.

IV. La démo.xstratiox. — Les principes de la démonstration déductive. — Deux formes de la démonstration géométrique : synthétique et analytique. — La démonstration par l'absurde.

V. L'esprit géométrique. — Règles de Pascal. — Esprit géométrique et esprit de finesse. — Toute science est-elle réductible aux mathématiques ?

Définition et division des sciences mathématiques.

— On vient d'esquisser la méthodologie générale ; il s'agit maintenant d'en développer et d'en éclairer les principes en les appliquant aux divers ordres de sciences. Si l'on n'envisage dans les sciences que les méthodes employées, on peut les répartir très commodément en sciences mathématiques, sciences physiques et sciences morales. Les premières son. abstraites et déductives;les secondes concrètes, expérimentales et inductives; les troisièmes mixtes, c'est-à-dire à la fois déduelives et inductives.

Aug. Comte, à qui l'on attribue à tort un « mathémalisme universel » qui est loin de sa pensée, a raison de dire que toute éducation scientifique qui ne commence pas par les mathématiques pèche par la base. Le nom même de ces sciences indique étymologiquement qu'elles sont par excellence la science, c'està-dire le domaine propre de la certitude absolue et de la démonstration rigoureuse. Elles sont de plus la meilleure gymnastique de l'esprit. Elles l'habituent à prendre conscience de ses ressources et de sa fécondité : un esclave ignorant interrogé habilement par Socrate découvre dans son esprit toute une suite de vérités géométriques; Pascal, avec « des barres et des ronds », construit, par sa seule activité intellectuelle, les trentedeux premières propositions d'Euclide. Rien ne prouve mieux l'inépuisable fécondité de l'esprit humain.

La meilleure définition des mathématiques est peut-être celle d'Aug. Comte : « On s'y propose constamment de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les relations précises qui existent entre elles. » On sait d'ailleurs qu'on appelle grandeur ou quantité, tout ce qui est susceptible de plus ou de moins, tout ce qui est mesurable, la mesure étant le rapport d'une grandeur quelconque à une grandeur définie prise pour unité.

Quelle est la notion mathématique génératrice de toutes les autres? Est-ce la forme, est-ce le nombre? Question diversement résolue par les savants et que le bon sens vulgaire semble résoudre à sa manière en appelant volontiers géométriques toutes les sciences mathématiques. Il est certain que le nombre lui-même semble présupposer la forme : les unités ne sont distinctes que dans l'espace où nous les concevons et par l'étendue où nous les localisons en les pensant. Le nombre est toujours un groupe d'objets identiques ou supposés tels ; le temps, qui joue un rôle important en mécanique, est mesuré par une simultanéité et une succession de mouvements, c'est-à-dire une production de formes ; la force elle-même est pour le savant un produit de deux facteurs dont l'un exprime l'accélération, l'autre la masse, tous deux des notions impliquant les formes. En ce sÉnS, la géométrie (le mot signifie étymologiquement mesure de la terre) est la science mathématique par excellence, génératrice de toutes les autres, bien que l'arithmétique et l'algèbre soient encore plus abstraites. Supprimez la représentation

des formes, vous i^endez impossibles toutes les sciences mathématiques et la notion de nombre elle-même : comment compter ce qui n'est pas distinct et comment distinguer ce qui n'est pas séparé ou du moins séparable dans l'espace ? Quant à l'espace, qu'on le suppose réel ou qu'on en fasse, avec Kant, une simple forme subjective de notre perception externe, les conséquences sont les mômes pour le géomètre. Descartes disait que l'étendue est l'essence des corps, l'étoffe commune dont ils sont faits; Leibniz, qu'elle n'est qu'un rapport de coexistence de forces ou « monades » en elles-mêmes inétendues ; Kant, qu'un mode de représentation, une vaste toile tissée par l'esprit, tendue devant son regard et sur laquelle il projette tout ce qu'il veut se représenter. Cette discussion est trop exclusivement métaphysique pour nous arrêter ici : disons simplement que le géomètre postule l'espace.

Origine et nature des notions mathématiques. — Mais nous sommes obligés de prendre parti sur l'origine et la nature des notions mathématiques ainsi réduites à la notion de formes. Viennent-elles de l'expérience ? Assurément, mais non de la seule expérience. 11 n'y a jamais concordance absolue entre l'expérience et les relations idéales et parfaites posées par le mathématicien : pas de triangle, pas de cercle parfaits. Le triangle et le cercle conçus sont des modèles, non des copies de la réalité. Parler défaits mathématiques, c'est se moquer : les faits sont, si l'on peut parler ainsi, antimathématiques. Le réel ici ne répond jamais qu'imparfaitement à l'idéal. L'intuition géométrique n'est pas la vue grossière des choses par les yeux du corps : il n'y a pas dans la nature deux rayons de cercle rigoureusement égaux.

Kant déclare que toutes les propositions proprement mathématiques sont des jugements « à priori et non empiriques » et montre la part de l'esprit dans leur formation en insistant sur leur caractère synthétique : ainsi cette proposition 7 -}- 5 = 12 est bien réellement synthétique, encore qu'elle paraisse analytique, « le concept de 12 n'est nullement pensé par cela seul que je pense cette réunion de 7 et de 5 » {1). En d'autres termes, l'esprit met quelque chose de lui-même, forme une intui-

(1) Prolégomènes, Avanl-propos.

tien nouvelle en posant le nombre 12 : toute proposition arithmétique est synthétique, c'est-à-dire telle que l'attribut ajoute quelque chose au sujet, et cette addition, cette synthèse active est proprement la part de l'esprit dans la notion arithmétique. Ce que nous disons de cette science s'applique à toutes les autres sciences mathématiques : c'est l'esprit qui les crée en s'aidant de l'expérience ou plutôt en mettant en œuvre son intuition pure et non expérimentale de l'espace. L'espace est pour le mathématicien une sorte de milieu intérieur et idéal, uji monde de formes dont il est le créateur. Il dit à sa manière : Que les figures soient, et les figures sont. Le fiai magique q\ii hévoque à l'existence, sa puissance créatrice, c'est l'activité synthétique de son esprit. Par cela seul qu'il pense les relations, il les pose pour les autres esprits et les impose à la nature. Dans le monde abstrait du géomètre, la thèse cartésienne est rigoureusement vraie : l'étendue est l'étoffe dont toute chose est faite, ou plutôt se fait par une sorte de création continuée. Rien, répétons-le, ne prouve mieux la puissance de l'esprit humain ; il est ici créateur et providence ; il produit et il conserve. Si l'esprit humain cessait de penser, les formes, les nombres et même les mouvements cesseraient d'exister, sinon comme de purs possibles. Qui dit géomètre dit idéaliste, puisque la géométrie idéalise la matière pour la réduire à ses formules.