LES DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES

Définitions, axiomes, démonstrations. — II suffit d'ouvrir un traité de géométrie pour reconnaître les trois éli-ments essentiels de la méthode déductive : définitions, axiomes, démonstrations. Il est aisé aussi de se convaincre qu'il faut commencer par la théorie de la définition : d'abord, en fait, les définitions se placent à l'entrée de la science ; ensuite, en droit, elles dominent toute la science qui en est extraite, si l'on peut ainsi parler, comme les moellons de la carrière. Qu'est-ce en effet qu'une définition? c'est la détermination des limites et de la circonscription d'une idée. Tandis que les axiomes ont une

extension indéfinie, puisque ce sont des vérités universelles, les définitions ont une extension très limitée, partant une compréhension d'autant plus grande que leur extension est plus bornée, puisque nous savons déjà ([ue l'extension et la compréhension sont en raison inverse l'une de l'autre. Dès lors, ce n'est pas des axiomes, quoiqu'on le répète souvent, que la science peut être extraite, mais bien des définitions très compréhensives, c'est-à-dire si riches de contenu qu'elles sont en quelque sorte inépuisables. Nous disons donc ([ue les sciences géométritjues sont extraites des définitions par le moyen de la démonstration appuyée sur les axiomes.

Définitions géométriques. — Définir une idée, avons-nous dit, c'est déterminer sa circonscription, la délimiter; c'est aussi énumérer les éléments qui entrent dans sa composition. On distingue habituellement les définitions de mots ou nominales et les définitions de choses ou réelles. « Les définitions, dit Mariolte, ne font pas que les choses soient; car pour dire une chimère est un tel animal, un cercle est une telle figure, il ne s'ensuit pas qu'il y ait dans la nature une chimère ou un cercle ; mais supposons que ces choses soient, ou qu'on puisse les faire telles qu'elles sont définies, on leur donne le nom. D'où il s'ensuit que les définitions ne peuvent être fausses quand on use de ce mot j'appelle : mais le nom peut être donné mal à propos, comme si on appelait ellipse ce qu'il faut appeler parabole; et même quand les choses ont des noms communs et en usage, il ne faut pas témérairement les changer ni donner aux noms une autre signification que celle qui est en usage (1). » Les définitions nominales ut; doivent pas nous arrêter : c'est affaire de lexicographie plutôt (|ue de science, d'usage plutôt que de choix. Qui s'aviserait d'appeler tellurométrie ce que nous appelons géométrie ne créerait qu'un néologisme désagréable, mais sans conséquence.

Il importe de distinguer les définitions géométriques, créations spontanées de l'esprit, des définitions empiriques: cellesci résument la science, celles-là lui servent de principes institutifs ; celles-ci sont à posterion, c'est-à-dire fondées sur l'observation, celles-là à priori^ c'est-à-dire sinon antérieures à

(I) Mariette, Essai de logique, 2° partio.

l'observation, du moins indépendantes d'elle. II est clair qu'on ne définit pas un mammifère sans en avoir observé les caractères : la définition empirique n'a même pas d'autre but que de résumer et de condenserces caractères extérieurement observés. Au contraire, une définition géométrique est une construction de l'esprit : je construis le cercle en faisant mouvoir un rayon autour du centre; le cylindre et le cône, en faisant évoluer un rectangle ou un triangle rectangle autour d'un côté pris pour axe. Je les construis, dis-je, non pas matériellement, mais idéalement: tout se passe dans mon esprit, pourvu que l'espace pur lui soit donné. Je puis ainsi construire une infinité défigures dont je m'appliquerai ensuite à déduire les propriétés, en les extrayant de la définition même. On voitdoncque lesdéfinitions géométriques sont des principes et des points de départ, les définitions empiriques des résultats et des points d'arrivée.

Les définitions précédentes se forment par la considération de la cause génératrice. Ce sont les plus profondes et les plus philosophiques; connaître une chose par sa cause, c'est vraiment connaître, connaître d'une manière adéquate. Mais elle n'est pas toujours possible ; le mode de génération et le principe générateur existent sans doute dans tous les cas, mais leur secret est trop profond, leur mode d'action trop obscur et trop complexe. Il faut alors recourir à la définition proprement logique, c'est-à-dire parle genre et la différence spécifique.

Le genre et la différence sont deux idées générales, de celles que les scolastiques appelaient des universaux (1). Par exemple, quadrilatère est un genre par rapport à carré, qui est une espèce ; polygone est un genre par rapport à quadrilatère, qui devient à son tour une espèce. Le genre est prochain ou éloigné : dire que le carré est une figure plane, c'est recourir à un genre éloigné; dire qu'il est un polygone, c'est employer déjà un genre moins éloigné ; il faut dire que c'est un rectangle, c'est legenre le plus prochain, et ajouter, paur achever ladéfinition, que ce rectangle a les côtés égaux: c'est la différence spécifique, c'est-à-dire celle qui, dans le genre le plus prochain, caractérise l'espèce. On comprend maintenant la règle des logiciens : une bonne définition se fait par le genre le plus prochain et la différence spécifique. On comprend aussi qu'en disant tout à

(1) Les cinq universaux âtaient : le genre, l'espèce, la différence, le propre et l'accident

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l'heure que la définition fait connaître une idée par l'énuméralion des éléments qui en constituent la compréhension, nous n'avons eu garde de confondre la délinition avec la description. L'énumération des éléments est singulièrement simplifiée, puisqu'ils se réduisent toujours à deux, le genre et ladilTérence.

Règles de la définition. — On dit généralement qu'une définition doit être courte, claire et précise. Courte, elle le sera nécessairement si l'on observe la règle précédente ; claire, elle ne peutl'être que relativement, car cetteclarté n'existeraquepour ceux qui auront présente à l'esprit la définition du genre et de la ditïérence ; précise, elle le deviendra précisément par cette délimitation exacte du sens des mots. Ces qualités de la définition sont donc à tous égards relatives : soyez bref, c'est un conseil et non pas une règle.

Il n'en est pas de même de cet autre caractère qu'on appelle la réciprocité : une définition rigoureuse étant posée, on doit toujours pouvoir substituer la définition au défini. Défini et définition forment une égalité parfaite : les deux membres de l'équation peuvent se remplacer l'un l'autre dans tous les cas. Et cela n'arrive qu'à une condition, c'est que la définition convienne à tout le défini et rien qu'au défini. Nous avons vu qu'une définition délimite l'extension de l'idée; il faut que cette délimitation soit nette et parfaitement exacte. En définissant le carré un polygone, je ne me trompe pas, mais ma définition est loin de convenir au seul défini ; en définissant le quadrilatère un rectangle, je ne commets pas une erreur absolue, mais ma définition ne convient pas à tout le défini. Platon avait, dit-on, défini l'homme un animal à deux pieds, sans plumes : Diogène pluma un coq et dit: Voilà l'homme de Platon !

On peut conclure de ce qui précède que Pascal soutient à tort que la science parfaite consisterait à tout définir et à tout prouver. Tout définir est impossible et superflu : impossible, puisque la première définition renferme nécessairement des termes non définis; superflu, puisqu'il y a des idées plus claires que toutes les définitions qu'on en pourrait donner, et que ce qui est simple ne se définit pas. Le genre le plus éloigné, le genre « généralissime », comme disaient les scolastiques, échappe par définition de mots à la définition de choses : dans quel genre le faire rentrer, puisqu'il n'y en a pas au-dessus de

lui? De même, au bas de l'échelle, l'individu peut être décrit, caractérisé, mais non pas défini : il n'y a de définition et il n'y a de science que du général.

Les logiciens ne séparent pas de la définition la division, qui lui succède ordinairement et qui ne se confond pas, nous le savons, avec l'analyse: si la définition développe la compréhension d'une idée, la division en indique l'extension. Une bonne division doit se conformer aux trois règles principales suivantes : 1° toutes les parties prises ensemble doivent être égales au tout divisé ; 2° les parties doivent être opposées et balancées, c'està-dire s'exclure mutuellement et être proportionnées lune à l'autre; 3° le principe de la division doit être emprunté à un caractère essentiel, tout au moins important, de l'objet divisi'-. On peut résumer toutes ces qualités dune bonne division en trois mots : elle doit être distincte, pour que les parties ne rentrent pas les unes dans les autres ; adéquate, pour que les parties constituent intégralement le tout, et proportionnée, pour que l'abondance des subdivisions ne ramène pas l'obscurité qu'il s'agissait précisément d'éviter. Les divisions systématiques s'appellent des classifications, et rangent les choses et les idées en groupes distincts et subordonnés : leur étude rentre dans la méthodologie des sciences naturelles.