ÏII LES AXIOMES ET LES POSTULATS

Vérités premières et axiomes. — Les définitions mathématiques ressemblent tellement aux axiomes, qu'on les a nommées quelquefois axiomes synthétiques, et ce nom est assez juste. L'axiome est une vérité évidente d'elle-même et qui, par conséquent, n'a pas besoin de démonstration. On ne démontre pas davantage les définitions, par exemple que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre et que le plan est la surface ^r laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans tous les sens. Ce sont là des synthèses primitives, des constructions immédiates de l'esprit. Les axiomes ont toute la nécessité et l'universalité des principes premiers, mais ils s'en distinguent

par ce caractère qu'ils ne paraissent pas rigoureusement indémontrables. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles, voilà un axiome ; la même chose ne peut pas à la fois être et n'être pas sous un mémo rapport, voilà, un principe premier, le principe de contradiction : on conçoit que la démonstration de l'axiome consisterait précisément à montrer j qu'il dérive du principe de contradiction. Mais ces sortes de démonstrations n'intéressent que le métaphysicien ; le mathématicien s'en dispense avec raison toutes les fois que l'évidence de l'axiome s'impose aussi clairement, plus clairement même que l'évidence de la démonstration. Dans l'usage courant, les deux expressions : axiomes et principes premiers, sont prises l'une pour l'autre du consentement même des savants.

Les postulats. — Mais ils distinguent les axiomes des postulats. Postulat veut dire demande : le savant demande qu'on lui accorde une vérité qu'il reconnaît ne pouvoir démontrer, mais qu'on reconnaît ne pouvoir contester. Il demande par exemple qu'il soit admis sans preuve (|ue par un point pris sur un plan on ne peut mener, dans ce plan, qu'une parallèh; à une droite donnée. On peut essayer de démontrer le postulat d'Euclide, mais la démonstration ne sera guère qu'une tautologie et une substitution de termes équivalents. Si l'on partait de cette hypothèse que le postulat d'Euclide est faux, on obtiendrait une géométrie « non euclidienne » s'appliquant à un espace hypothétique de n et non plus trois dimensions. Les propositions de cette géométrie réussiraient dans notre esitace ; toutefois, comme l'espace à n dimensions n'est pasfigurable, il semble qu'une telle géométrie ne se fonde que par un artifice algébric^ue et que le nom même de géométrie lui répugne.

Ajoutons que les axiomes et les postulats sont des propositions analytiques : l'attribut analyse purement et simplement le sujet. C'est ce qui fait leur absolue certitude, et c'est aussi ce qui les rend stériles: «Il ne sert de rien, dit Leibniz, de ruminer les axiomes sans avoir de quoi les appliquer. » Faire l'inventaire de ses richesses, ce n'est pas s'enrichir. Les propositions analytiques ne sont qu'un inventaire; les définitions, propositions synthétiques, sont les riches filons d'une mine inépuisable.