CAS DÉMONTRÉ UN AUTRE CAS

(Lesrapportaqm constituent J^ \ /g (Les rapports qui consti-

Tangle dans cette demi- ] ( tuent rangle dans cette

circonférence-ci) .1 1 , demi circonférence-là)

(coexistent avec) * ( ^^ i ' (coexistent avec)

(les rapports qui consti- & j [ ^ (les rapports qui consti-

tuent un angle droit.) / \ tuent un angle droit.)

Telle paraît être la plus correcte analyse de ces espèces de rai*

sonnements quantitatifs ci-dessus décrits, dans lesquels les antécédents et les conséquents ne sont pas homogènes.

La seule autre complication que nous ayons besoin d'exa* miner ici, c'est celle qui se présente quand, au lieu de deux rapports égaux, nous en avons trois. De même que de cette simple intuition primitive dans laquelle nous reconnaissons que deux grandeurs sont é^es, nous passons^ par l'union de deux de ces intuitions, à une intuition composée qui implique trois grandeurs ; de même, des cas précédents dans lesquels on reconnaît que deux rapports sont égaux, nous passons maintenant, par une complication semblable, au cas encore plus complexe dans lequel trois rapports sont impliqués. Cela nous conduit à Taxiome : a Des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, » formulé, comme nous l'avons vu, de cette manière :

Dans cette formule, on verra que chaque couple de rapports est uni dans la pensée de la même manière générale que plusieurs des groupes dont nous avons déjà parlé. Il n'est pas nécessaire d'entrer dans le détail des différentes modifications de cette forme, qui se présentent quand les rapports sont inégaux. Il n'est pas non plus nécessaire de nous arrêter à ces formes encore plus compliquées qui se présentent quand cet arrangement conjonctif est remplacé par un arrangement disjonctif ; — quand, au lieu de trois rapports, nous en avons quatre, comme dans le cas de l'axiome donné au début (§ 277) : <c Les rapports qui sont séparément égaux à certains autres rapports qui sont inégaux entre eux, sont eux-mêmes inégaux, n Nous avons donné assez d'exemples du processus

d'évolution pour rendre cette intuition et celles qui sont analogues promptement compréhensibles.

Tout ce qui nous reste à faire, c'est de remarquer comment, par des développements successifs, nous avons passé d'une intuition simple de l'égalité ou de l'inégalité de deux grandeurs à une intuition infiniment plus complexe de l'égalité ou de l'inégalité des rapports entre eux.

§ 291. Le raisonnement quantitatif ainsi suivi dans sa genèse nous montre que, soit médiatement ou immédiatement, il implique toujours d'une manière positive ou négative, en partie ou en totalité, les idées d'identité de nature de ses grandeurs, d'identité dans la quantité, d'identité dans le temps de leur présentation à la conscience, et d'identité dans le degré entre les rapports de même nature qui existent entre ces grandeurs. Il sera bon, finalement, de remarquer que nous pouvons voir, même à priori^ l'impossibilité de poursuivre un raisonnement quantitatif, sauf par les intuitions de l'égalité ou de l'inégalité des rapports.

Le but d'un raisonnement quantitatif, c'est de déterminer avec exactitude les grandeurs relatives des choses. Si ces choses sont l'une par rapport à l'autre^ de telle manière que leurs grandeurs relatives soient connues par une simple intuition^ aucun raisonnement n'est impliqué. Par conséquent^ il ne peut y avoir de raisonnement que quand ces choses sont dans de telles conditions qu'elles ne sont pas directement comparables. Par suite, leurs grandeurs relatives, si elles sont déterminables, no peuvent être déterminées que par l'intermédiaire de grandeurs auxquelles elles sont comparables. Le rapport quantitatif inconnu entre A et E, ne peut être déterminé que parle moyen de rapports quantitatifs connus entre chacun d'eux et B, C, D ; et c'est le but de chaque processus mathématique de trouver ces rapports intermédiaires connus qui permettent une comparaison quantitative de A et de E. Maintenant l'examen direct des grandeurs ne peut aucunement donner ce résultat. Nous pourrions éternellement

considérer B, C et D dans leur valeur individuelle, sans faire un pas vers le but désiré. Ce n'est qu en observant leurs modes de dépendance que nous pouvons faire quelques progrès. Si A et E sont dans un rapport quantitatif inconnu que nous voulons déterminer, nous ne pouvons le faire qu'en les considérant comme égaux ou inégaux à certains autres rapports^ que nous connaissons d'une manière médiate ou immédiate. Il n'y a pas d'autre moyen d'exprimer le rapport même d'une manière spécifique. Déterminer ce qu'une chose est ou n'est paSf c'est déterminer à quelles choses elle ressemble ou ne ressemble pas^ à quelle classe elle appartient. Et quand, d'un rapport primitivement inconnu entre A et E, nous disons que nous l'avons découvert^ nous voulons dire que nous avons trouvé que ce rapport est le même ou n'est pas le même qu'un rapport connu. Il en résulte, à priori^ que le processus du raisonnement quantitatif doit consister dans l'établissement de l'égalité ou de l'inégalité de rapports.