CHAPITRE V

§ S89. Le raisonnement quantitatif implique les trois idées de coextension, de coexistence et d'identité de nature {connaiure) \ OU; pour parler d*une manière moins exacte mais plus compréhensible, — d'identité dans la quantité d'espace occupée, d'identité dans la durée de la présentation à la conscience, d'identité d'espèce. Il implique ces idées, ou d'une manière positive en les affirmant, ou d'une manière négative en les niant. Cette proposition demande à être développée.

Le germe d'où sort le raisonnement quantitatif, - la simple intuition de l'égalité de deux grandeurs, implique nécessairement toutes ces idées. 11 ne peut y avoir aucune comparaison entre les grandeurs, à moins qu'elles ne soient de même nature, et leur coextension ne peut être perçue, si elles ne sont pas coexistantes. 11 en est ainsi, en général, dans la géométrie positivement quantitative- Chacune de ses propositions affirme la coextension ou la non-coextension de deux ou de plusieurs choses de même nature qui coexistent, ou la coexibtence de certaines choses qui sont coextensives, ou inversement, avec certaines autres choses que Ton sait être coextensives, ou le contraire. Et ces démonstrations procèdent en

* J*invcnte ce mot, eu parlie pour éviter une périphrase lourde, et en partie pour indiquer la parenté de l'idée exprimée aux idées de coexistence et de coextension. Comme nous avons déjà les mots connateti connatural J'innovation est insigniliante; et elle sera justifléei je pense, par le besoin que nous en avons.

affirmant que certaines choses coexistantes et de même nature sont invariablement coextensives ou non, ou que certaines choses de même nature et coextensîyes coexistent invariablement ou ne coexistent pas avec certaines autres choses. Quand les propositions sont numériques, et quand, comme cela arrive fréquemment en algèbre et dans le calcul en général, la durée est un des éléments dont on se sert, il semblerait que la coexistence n'est pas impliquée, et que, de plus^ quand la force et la valeur sont les autres éléments de la question, la coextension n'est pas même impliquée. Ce sont là pourtant des illusions qui résultent du caractère abstrait des signes numériques. Représentant des unités égales, et des groupes d'unités égales, de n'importe quel ordre, et étant créés pour un moment dans le but du calcul^ les signes numériques semblent, à première vue, être également indépendants et de l'espace et du temps. Le fait^ cependant, est exactement le contraire. En remontant à leur origine^ nous trouvons que les unités de temps, de force, de valeur, de vitesse, qui peuvent indistinctement être remplacées par des signes, étaient d'abord mesurées par des unités égales d'espace. On connaît l'égalité des temps, ou par le moyen d'espaces égaux traversés par un indice, ou par la chute de quantités égales (espace plein) de sable ou d'eau. Les unités égales de poids ont été connues au moyen d'un levier à bras égaux (balance). Les problèmes de statique et de dynamique ne sont primitivement solubles qu'en remplaçant des quantités de forces par des longueurs de lignes. Les valeurs commerciales sont exprimées par des unités qui étaient d'abord et qui en réalité sont encore des poids définis de métal; elles sont par suite^ de même que les unités de poids, réductibles à des unités d'étendue linéaire. La température est mesurée par des longueurs égales marquées sur la colonne mercurielle. Ainsi, abstraction faite de ce qu'elles sont devenues maintenant, les unités de calcul, appliquées à n'importe quelle espèce de grandeur, remplacent en réalité desxxiùVte ^fe\fc\A>\^

linéaire ; et Tidée de la coextension se retrouve dans chaque processus de Tanalyse mathématique. Il en est de même avec la coexistence. Les signes numériques sont» il est vrai, purement représentatifs, et par suite on peut les regarder comme n'ayant qu'une existence fictive. Mais on doit admettre de deux choses Tune, touchant les processus de raisonnement qui se font par leur moyen : ou bien ces processus impliquent que Ton se reporte consciemment aux choses signifiées, — et dans ce cas les inégalités affirmées sont celles qui ont été précédemment observées entre des choses coexistantes; ou bien Ton cesse de penser aux choses signifiées^ et Ton se borne à considérer les rapports qui existent entre les signes,— et dans ce cas ces signes doivent . être coexistants dans la conscience avant que Ton puisse déterminer leur rapport. En fait, les phénomènes de mouvement et de succession ne peuvent être traités quantitativement qu'en remplaçant par des grandeurs coexistantes des grandeurs qui ne le sont pas. Les longueurs relatives de deux temps n'étant pas directement déterminables, doivent être indirectement déterminées en comparant les espaces que traverse une aiguille de cadran durant les deux temps, c'est-à-dire en comparant des grandeurs coexis* tantes. Par suite, en nous mettante un point de vue abstrait^ nous pouvons dire que le calcul en général est un moyen de traiter des grandeurs qui ne coexistent pas, ou qui ne sont pas homogènes, ou les deux à la fois, en leur substituant d'abord des grandeurs qui coexistent et qui sont homogènes^ et en retraduisant ensuite ces dernières en leur forme originale. On verra cependant plus clairement que le raisonnement quantitatif parfait emploie exclusivement les intuitions de coextension de grandeurs coexistantes qui sont de nature identique^ si Ton remarque que les intuitions de coextension, de coexistence et d'identité de nature [connature) sont les seules intuitions parfaitement définies que nous puissions former. En plaçant deux lignes égales l'une à côté de l'autre, nous pouvons voir avec précision qu'elles sont égales ; mais nous

ne pouvons, si l'une est plus grande que l'autre, voir avec précision de combien elle est plus grande. Le seul moyen que nous ayons de faire cette détermination exactement^ c'est de diviser les deux lignes en petites parties égales, dont la plus grande contient tant de ces parties égales, et la petite tant : nous devons retourner à l'intuition de coextension. Deméme^ tandis que nous savons avec exactitude que deux choses coexistent^ nous ne pouvons, quand une chose suit une autre, savoir avec la même exactitude l'intervalle de temps qui les sépare. Pour arriver à faire cette détermination d'une manière précise, nous employons une mesure de temps fondée sur des unités coextensives d'espace. De plus, nous reconnaissons avec une parfaite précision l'égalité de nature dans ces choses qui sont susceptibles d'une comparaison quantitative. Que les lignes dftites soient homogènes et qu'elles soient, les unes par rapport aux autres, plus grandes ou plus petites^ bien qu'on ne puisse les comparer à des surfaces ou à des cubes ; que les surfaces soient de même nature que les surfaces, et les cubes que les cubes ; que telles et telles grandeurs soient des grandeurs de force, et telles et telles des grandeurs de temps, - ce sont là des intuitions qui ont un aussi haut degré d'exactitude que les précédentes. Pourtant, outre ces trois ordres d'intuitions, nous n'en avons aucune qui soit parfaitement définie. Nos perceptions d'intensité et de qualité dans les sons, les couleurs, les saveurs, les odeurs, de quantité de poids ou de chaleur, de dureté relative^ de durée relative, sont en elles-mêmes inexactes. Par suite, comme nous savons que le raisonnement quantitatif de l'ordre le plus élevé mène à des résultats parfaitement définis, il s'ensuit que les intuitions dont il est formé doivent être exclusivement celles de coexistence, identité de nature {connature) et de coextension.

Pour montrer les diverses combinaisons que subissent ces intuitions, et pour mettre en vue certains faits qui n'ont pas été notés, groupons dans leur ordre hiérarcMc^vi^ \a%

formes successives que suppose le raisonnement quantitatif. Certaines répétitions qui sont inévitables seront» je pense, justifiées par les éclaircissements qu'elles procureront.

§ 290. L'intuition qui se retrouve dans tous les raisonnements quantitatifs, est celle de l'égalité de deux grandeurs. Maintenant^ la conscience immédiate que

implique trois choses : — d'abord que A et B sont coexistants , car autrement ils ne pourraient être présents à la conscience de façon à ce qu'il soit possible de reconnaître directement leur égalité; - secondement, qu'elles sont des grandeurs de même espèce, c'est-à-dire de nature identique ou homogène , car si l'une est une longueur et l'autre une surface, il ne peut y avoir entre elles aucun rapport quvititatif ; — troisièmement, que ces grandeurs ne sont pas des grandeurs homogènes quelconques^ mais des grandeurs d'étendue linéaire , car l'on voit que celles-là seules sont susceptibles de cette juxtaposition parfaite^ par laquelle on doit déterminer l'égalité précise ; - que seules elles ont une égalité qui peut ôtre vérifiée en voyant si elles se fondent en une identité, comme deux lignes mathématiques égales placées l'une sur l'autre ; — que seules elles ont cette espèce de coexistence qui peut devenir une existence unique. Ainsi, l'idée quantitative primordiale réunit dans leurs formes les plus parfaites les intuitions de coextension, de coexistence et d'identité de nature (connature).

En reconnaissant la négation de cette égalité, — en percevant que A est inégal à B, - ou, d'une manière plus explicite, en percevant

ou bien A > B ou A < B

on n'implique pas ces conditions rigoureuses. 11 est vrai que, comme ci-dessus, A et B doivent être des grandeurs de même nature. Mais il n'est pas nécessaire que ces deux grandeurs soient coexistantes, ni qu'elles soient des grandeurs d'étendue

linéaire. Pourvu que la supériorité ou riofériorité de A par rapport à B soit considérable, on peut la connaître en Tabsence de l'une de ces qualités ou des deux à la fois (coexistence^ étendue linéaire), et elle peut être connue même si ces grandeurs sont des surfaces, des yolumes, des poids, des temps, des vitesses^ etc.

Le raisonnement quantitatif le plus simple, qui est impossible lorsqu'il n'existe que l'une ou l'autre de ces intuitions, se produit quand les deux sont coordonnées en une intuition composée, ou lorsque l'une des deux est coordonnée avec une autre de la même espace qu'elle. Lorsque, en unissant deux des premières intuitions, comme il suit.

nous reconnaissons l'égalité de A à C, il est nécessaire, pour que les égalités de A à B et de B à C soient connues immédiatement, que les grandeurs soient des grandeurs d'étendue linéaire, bien que, si les égalités ont été déterminées médiatement, les grandeurs puissent être d'un autre ordre quelconque^ pourvu qu'elles soient homogènes; mais il n'est plus nécessaire que toutes ces grandeurs soient coexistantes. A un moment, A doit avoir coexisté avec B, et à un moment^ B doit avoir coexisté avec C ; mais les intuitions de leur égalité ayant été une fois acquises, ou en même temps, ou a des temps séparés, il résulte de la capacité que nous avons de nous rappeler un rapport déterminé avec une parfaite exactitude que nous pouvons, à un moment ultérieur, reconnaître Tégalité des rapports de A à B et de B à C, et par suite l'égalité de A à C, bien qu'en partie, ou même en totalité, ces grandeurs aient cessé d'exister.

Si l'on unit la première et la seconde intuiUoxv^ wi \^^^-

conde avec une autre de sou espèce, nous obtenons deux intuitions composées, formulées comme il suit :

> ou<

>ou<

Dans le premier de ces cas, il est nécessaire, pour que les rapports soient immédiatement établis, que les grandeurs soient linéaires; mais cela n'est pas nécessaire, si Ton a établi médiatemcnt Tégalité de A à B; et tandis que A et B doivent avoir coexisté, il n'est pas nécessaire qu'il en ait été ainsi pourB et pour C. Dans le second cas» les grandeurs n'ont pas besoin d'être linéaires ; et si les inégalités sont considérables, elles peuvent être de n'importe quel ordre. De plus, il paraîtrait à première vue qu'elles n'ont aucun besoin d'être coexistantes. Mais cela n'est pas vrai. Car si l'infériorité ou la supériorité de A par rapport à B et de B par rapport à C est si grande qu'elle puisse être perçue par la simple comparaison des souvenirs que nous en avons, on peut percevoir de même la supériorité ou l'infériorité de A par rapport à C, sans l'intermédiaire de B, et alors le raisonnement est superflu. Les seuls cas auxquels la formule s'applique sont ceux dans lesquels les inégalités sont si peu importantes que la comparaison directe ne pourrait les apprécier ; d'où il suit que chaque couple de grandeurs doit avoir été coexistant à un moment donné.

Une autre complication, qui caractérise tous les raisonnements quantitatifs, sauf ceux de l'espèce la plus simple et la moins importante, et dont nous venons de donner des exemples, se présente quand, au lieu de rapports unis, nous employons des rapports non unis ; quand les rapports comparés, au lieu d'avoir un terme commun, n'ont aucun terme commun. Partout où il y a quatre grandeurs au lieu de trois, plu-

sieurs nouvelles lois entrent en jeu ; et la plus importante de ces lois, c'est qu'il n'est plus nécessaire que toutes les grandeurs soient de même ordre. Dans chacun des cas précédents^ nous avons vu que tandis que l'intuition de coexistence n'est quelquefois impliquée que médiatement au lieu de l'être immédiatement, même quand le jugement auquel on arrive est parfaitement quantitatif ; et que, tandis que, quand le jugement est imparfaitement quantitatif, l'intuition de coextension n'est pas impliquée, sauf comme corrélatif de la non-coextension, Tintuition qui est uniformément impliquée est celle de l'identité de nature des grandeurs^ — de leur homogénéité, de leur ressemblance générique. Sans cela aucun des jugements que nous avons donnés n'est possible. Mais avec les rapports disjoints, il en est autrement. Les quatre grandeurs peuvent être toutes homogènes; elles peuvent aussi n'être homogènes que par paires, qu'on les prenne soit successivement, soit alternativement.

Quand toutes les grandeurs sont homogènes, nous avons, pour le premier groupe de cas, la formule dans laquelle cha-

Il = Il B ) { V

cun des rapports disjoints qui n'ont pas de terme commun est un rapport d'égalité, et dont le second est une transformation du premier. Cette formule, comme nous l'avons déjà montré, représente l'acte mental qui a lieu dans chaque pas d'une équation, et tient lieu de ces différents axiomes : Lorsque des quantités égales sont ajoutées à des quantités égales, ou retranchées d'elles, ou multipliées par elles, ou divisées par elles, les résultats sont égaux. Pour le second groupe de cas^ nous avons la formule :

Ml

dans laquelle chacun des rapports est un rapport d'vi4^^V.^«

Elle comprend tous les cas de proportion : que ce soient des proportions numériques dans lesquelles les degrés d'inégalité sont exprimés d'une manière définie, ou que ce soient des proportions géométriques (comme celles qui existent entre les côtés de triangles semblables), dans lesquelles les degrés d'inégalité, bien que leur similitude soit commune, ne sont pas exprimés d'une manière définie. Pour le troisième groupe^ qui est l'antithèse des deux précédents et qui n'est quantitatif que d'une manière imparfaite, nous avons la formule :

>ou<

qui représente des yérités générales telles que les suivantes : Si l'on retranche de quantités inégales des quantités égales, les restes sont plus inégaux; Si on ajoute à des quantités inégales des quantités égales, les sommes sont moins inégales, et ainsi de suite. Touchant ces trois groupes de cas, dans lesquels les grandeurs sont toutes homogènes, il suffit d'ajouter que l'égalité ou l'inégalité que l'on affirme entre les deux couples se rapporte toujours directement ou indirectement aux rapports d'espace et non aux rapports de temps de leurs composants.

Si nous passons à la classe des couples disjonctifs de rapports dans lesquels les différentes grandeurs ne sont pas foutes homogènes^ nous trouvons que l'égalité qui est affirmée entre les rapports peut se rapporter, soit à l'étendue comparative, soit à l'existence comparative. Un premier groupe de ces rapports peut être formulé ainsi :

B j \ d de manière à indiquer le fait que les grandeurs du premier rapport sont d'une espèce, tandis que celles du second sont d'un autre ordre. Cette formule comprend les cas dans les-

quels une ligne est à une autre ligne ce qu'une surface est à une autre surface, ou dans lesquels un volume est à un voume ce qu'un poids est à un poids; —les cas qui ressemblent à ceux dans lesquels on voit que les triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases» ou que les forces de deux attractions sont entre elles comme les masses des corps qui s'attirent. Il est ici manifeste que, bien que le premier couple de grandeurs diffère du second en nature^ cependant, Tantécédent et le conséquent d'un couple ont entre eux le même rapport quantitatif que l'antécédent et le conséquent de l'autre ; et de là la possibilité du raisonnement. Un second groupe de cas qui appartient à cette classe peut être ainsi formulé :

b ] \ d Ici, chaque rapport consiste en grandeurs hétérogènes, telles qu'une ligne et un angle. Mais les deux antécédents sont de même nature, ainsi que les deux conséquents. Ni l'un ni Vautre des deux rapports comparés ne peuvent être quantitatifs , puisque, ni dans l'un ni dans l'autre, les composants n'ont cette identité de nature qui est impliquée par l'affirmation d'une grandeur relative. Par suite, les deux rapports ne peuvent être égaux qu'au point de vue de la coexistence de leurs éléments ; et, comme nous le verrons, les considéra* tiens de quantité n'y sont plus impliquées. Il y a des conditions^ cependant^ dans lesquelles cette forme représente un raisonnement qui est vraiment quantitatif, à savoir, quand la coexistence présuppose certains rapports quantitatifs définis par lesquels les grandeurs hétérogènes sont indirectement reliées. Ainsi, quand le théorème — a Dans un triangle, au plus grand côté est opposé le plus grand angle, y> est cité pour prouver uu théorème subséquent, l'acte de pensée impliqué est de l'espèce figurée plus haut. Le plus grawd c(A.^ V^ ^>i^:^

triangle a été trouvé être dans un rapport spécial de coexistence avec le plus grand angle {b) ; et dans un autre triangle on perçoit que le plus grand côté (C) et le plus grand angle (d) sont dans un même ou égal rapport. Ce rapport n*est pas simplement celui de coexistence : c'est un rapport de coexistence dans certaines positions respectives. Et quoiqu'il ne puisse y avoir un rapport quantitatif direct entre ^ un côté et un angle, cependant» comme il est compris entre les deux plus petits côtés, le plus grand angle est dans un rapport quantitatif tmftr^ct avec le plus grand côté. — On peut prétendre cependant que, dans ce cas, comme dans les innombrables cas semblables qui se présentent dans le raisonnement géométrique, A, b, C ei d seraient regardés chacun plutôt comme des rapports entre des grandeurs que comme des grandeurs elles-mêmes. Pour élucider cette question, examinons le théorème. — <& L'angle qui mesure une demi-circonférence est un angle droit, d Ici, le mot a demi-circonférence » indique des rapports quantitatifs définis, - une courbe dont toutes les parties sont ^guidistantes d'un point donné, et dont les deux extrémités sont réunies par une ligne droite qui passe par ce point. Les mots a angle qui mesure une demicirconférence J> indiquent d'autres rapports quantitatifs : négativement quantitatifs, sinon positivement quantitatifs. Et la chose affirmée, c'est qu'avec ce groupe de rapports quantitatifs coexiste cet autre groupe de rapports quantitatifs dont le mot «angle droit» indique Texistence entre les deux lignes qui le renferment. A ce point de vue, le raisonnement peut s'écrire ainsi :