DEMONSTRATION. ANALYSE

< Dn point G, tirons une grande II a été démontré antérieurement ligne droite G E parallèle à A B : qu'il y a un rapport de coexistence comme A B est parallèle à G Ë, et entre le parallélisme de deux lignes comme A G coupent ces lignes, les et Tégalité des angles alternes inangles alternes internes B A G et ternes produits par la rencontre AGE sont égaux. d'ime troisième ligne avec les deux

autres. On voit que dans ce cas aussi le parallélisme des lignes doit coexister avec régalité des angles, c'est-àdire que le présent rapport est reconnu être égal à un rapport déjà étabU.

€ De plus, comme A B est parallèle^ Dans une proposition précédente kCE, ei que ces lignes sont coupées on a montré qu'une ligne qui coupe par B D, l'angle externe E G D est deux lignes parallèles donne des égal à l'angle interne opposé A B G; angles dont Texterne et Tinteime

opposé sont égaux. Ici il y a deux lignes parallèles et une ligne qui les coupe ; et la connaissance que la démonstration exprime, c'est que le rapport des lignes et des angles cqiI

était vrai antérieurement, est Ytm.

actuellement; c'est que le rapport

actuel est un rapport semblable, un

rapport égal.

mais on a montré que les angles A Intuitions immédiates : d*abord

C E et B A C étaient égaux : donc que le tout est égal à la somme de

tout Tangle externe A C D est égal ses parties; et secondement, que les

aux deux angles internes et opposes choses qui sont égales à la mémo

C A B et A B C. chose sont égales entre elles. Cette

dernière, comme nous le verrons plus tard, est une intuition de Tégalitc de deux rapports.

€ Ajoutons à ces angles l'angle A C'est une intuition que quand à des C B ; alors les angles A C D et A C grandeura égales on «goûte la même B sont ensemble égaux aux trois grandeur, les sommes sont égales : angles C B A, B A C et A G B. intuition qui est elle-même une cons-

cience de régalité de deux rapports, — le rapport qui existe entre les grandeurs avant l'addition, et le rapport qui existe après.

€ Mais la somme des angles A C On a démontre préalablement que D, A C B est égale à deux droits ; les angles formés par une ligne

droite élevée sur Tim des côtés d'une autre ligne droite étaient ou deux droits, ou égaux à deux droits; et ce que l'on voit maintenant, c'est que le rapport qui existe entre les lignes et les angles dans ce cas est exactement semblable au rapport qui existe dans le premier, — en d'autres termes, que les deux rapports sont égaux, par suite, aussi, la somme des an- C'est une intuition que les choses gles C B A, B A C et A C B est égale qui sont égales à la même chose à deux droits. sont égales entre elles ; intuition qui,

comme nous l'avons indiqué plus haut, est elle-même connue par une intuition de Tégalité de deux rapports.

€ Donc si Ton prolonge un côté C'est une intuition que le rapport du triangle, l'angle externe est égal que Ton a trouvé dans ce triangle aux deux angles internes opposés ; existe dans quelques triangles, dans et la somme des trois angles internes tous les triangles, — que le rapport, de tout triangle est égale à deux dans tout autre cas, est égal au rapdroits. C. Q. F. D. » port dans ce cas.

Ainsi, dans chaque pas par lequel ou arrive à la conclusion particulière, aussi bien que dans le pas qui conduit de la conclusion particulière à la conclusion générale, Topera-

tien essentielle que Ton traverse est l'établissement dans la conscience de Tégalité de deux rapports. Et comme, dans chaque pas, Tacte mental est indécomposable ; — comme à cette assertion que, dans tous les cas, deux rapports de cette nature sont égaux, nous ne pouvons donner d'autre raison^ si ce n'est qu'on les perçoit comme tels, il est manifeste que tout le processus de la pensée est exprimé de cette manière. § 283. On croira peut-être qu'il est inutile de prouver que chaque pas du raisonnement algébrique est de môme nature, puisque l'on a montré que l'axiome : les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, implique deux fois une intuition de l'espèce décrite plus haut, et puisque cela implique que les raisonnements qui procèdent de cet axiome reposent sur des intuitions pareilles. Mais il peut être bon de montrer d'une manière certaine que ce n'est qu'en vertu de ces intuitions que les transformations successives d'une équation deviennent possibles. A moins qu'une modification dans la forme d'une équation ne laisse le rapport des deux membres égal à ce qu'il était auparavant, — à moins que l'on ne voie que chaque nouveau rapport établi est égal au rapport précédent, le raisonnement est vicieux. Une manière convenable de montrer que l'acte mental continuellement répété dans un de ces processus analytiques, est tel que nous avons décrit^ nous est suggérée par un artifice algébrique ordinaire. Quand on peut arriver par ce moyen à une simplification, il est d'usage de mettre les deux membres d'une équation en proportion, procédé dans lequel l'égalité des rapports est affirmée sous forme déterminée. En voici un exemple , non tel qu'il s'en présente dans la pratique, mais un cas simplifié, approprié à notre dessein actuel.

2 xy :

'ix ;

ou,

d'autres termes,

2xy :

Et s'il fallait prouver que ce mode de présenter les fait» est légitime^ nous l'obtiendrions immédiatement en multipliant les extrêmes et les moyens d'où résulte l'identité.

Ce qui montre clairement que Tacte mental déterminant chaque transformation algébrique, est tel que le rapport exprimé par la nouvelle forme de l'équation » est reconnu égal au rapport exprimé par sa forme antérieure.