CHAPITRE IV
§ 284. L*aptitude à percevoir l'égalité implique une aptitude corrélative à percevoir Tinégalité ; Tune ne peut exister sans l'autre. Maisbieu qu'inséparables en principe, la connaissance de l'égalité et celle de l'inégalité, qu'elles s'appliquent aux choses ou aux rapports^ différent en ceci, c'est que Tune est précise et l'autre indéterminée. H n'y a qu'une égalité ; mais il y a de nombreux degrés dans l'inégalité. Affirmer l'inégalité n'implique l'affirmation d'aucun fait, mais purement et simplement la négation d'un fait ; et par suite, n'établissant rien de déterminé, la connaissance de l'inégalité ne peut jamais servir de prémisses à une conclusion déterminé.
Par suite, le raisonnement qui est parfaitement quantitatif dans son résultat, procède entièrement en établissant l'égalité des rapports, que les membres de cette égalité soient égaux, ou que l'un d'eux soit un multiple de l'autre. Au contraire, si quelques-unes des grandeurs qui sont en rapport immédiat ne sont ni directement égales^ ni multiples l'une de l'autre , ou si quelques-uns des rapports successifs que le raisonne* ment établit sont inégaux, les résultats sont imparfaitement quantitatifs. Il y a des exemples de cette vérité dans cette classe de théorèmes géométriques dans lesquels on affirme qu'une chose est plus ou moins grande qu'une autre, qu'elle est comprise dans une chose ou qu'elle la comprend, et autres choses semblables. Prenons pour exemple la proposition que — « deux cAtés d'un triangle sont plus grands que le troisième. »
« Soit un triangle ABC, la somme de deux de ses cAtés est
plus grande que le troisième côté; c'est-à-dire que BA = ÂC sont plus grands que BC, que BA et BC sont plus grands que AC, et que BC et CA sont plus grands que AB.
a Prolongeons la ligne BA jusqu'à D, et prenons AD = AC : joignons DC. »
< Comme D A est égal à A C, Tangle A D G égale Tangle A G D ;
Mais Tangle B G D est plus grand que Tangle A G D ;
Donc Tangle B G D est plus grand que Tangle A D G.
« Et comme l'angle B G D est plus grand que l'angle B D G, et que le plus grand côté est opposé au plus grand angle, le côté B D est plus grand que le côté B G; mais B D est égalàB A + AG;
« Donc B A -|- A G sont plus grands que B G.
< De la même manière on peut démontrer que les côtés A B -h B G sont plus grands que G A et que B G + G A sont plus grands que A B. »
Rapport égal à un rapport antérieurement établi.
Intuition immédiate d'inégalité.
Intuition immédiate de l'égalité de deux rapports d'inégalité, qui ont un terme en commun, et les autres termes égaux.
Rapport égal à un rapport antérieurement établi.
Intuition immédiate de ce que, quand à deux grandeurs qui sont en rapport d'égalité on ajoute la même grandeur, le second rapport est égal au premier.
Intuition immédiate de l'égalité de deux rapports d'inégalité dont un terme est commun et les autres égaux.
Les rapports qui existent dans les autres cas sont égaux au rapport qui existe dans ce cas.
On observera qu'ici, bien que les grandeurs que Ton compare soient inégales, la démonstration procède cependant en montrant que certains des rapports qui existent entre ces grandeurs sont égaux à certains autres^ et que, bien que les rapports primaires (entre les quantités) soient des rapports
d'inégalité, les rapports secondaires (entre les rapports) sont cependant des rapports d'égalité. Et cela a lieu dans la ma* jorité des raisonnements imparfaitement quantitatifs.
Quoiqu'il y ait, comme nous le verrons peu à peu, des cas dans lesquels les rapports et les grandeurs sont à la fois inégaux, CCS cas sont comparativement rares, et ils ne peuvent se présenter que sous des formes très-simples.
§ 285. Il y a une autre espèce de raisonnement imparfaitement quantitatif qui dans l'analyse mathématique tient la même place que Tcspèce précédente dans la synthèse mathématique. L'inégalité algébrique ordinaire nous en donne un
échantillon. Ainsi, si Von sait que a + -7= est moins grand que fl -j- ^ l/y , on peut faire le raisonnement suivant :
x^ < xy
^ < y Dans ce cas^ comme dans le cas des équations^ le raisonnement procède par pas dont chacun affirme tacitement Tégalité du nouveau rapport au rapport antérieurement établi , avec cette différence que les rapports successifs sont des rapports d'infériorité, au lieu d'être des rapports d'égalité. Le processus général de la pensée est, néanmoins, le même dans les deux cas. Cela deviendra clair si Ton considère que, l'infériorité de « à y ne pouvant être déduite que de l'infériorité
de a 4- -j=. ha-^-x \/y^ et cette infériorité ne pouvant être
connue que par l'intermédiaire d'autres rapports d'mfériorité, la possibilité du raisonnement dépend des rapports successifs qui sont reconnus comme égaux entre eux. Il est vrai que ces rapports successifs n'ont pas besoin d'être égaux d'une manière déterminée ; mais ils doivent être égawi ^Xk "çx^^^^-
tioD de leur précision. Dans le cas précédent, par exemple^ la première formule de Tinégalité exprime un rapport dans lequel la différence entre ces deux quantités est moindre que dans la seconde formule : vu que, quand à des quantités inégales on retranche des quantités égales, les restes sont plus inégaux qu'auparavant. Mais bien que dans le degré d'infériorité qu'ils expriment chacun, les rapports successifs n'aient pas besoin d'être égaux, ils doivent être égaux en tant qu'étant des rapports d'infériorité ; et cette infériorité indéterminée est tout ce qui est affirmé soit dans les prémisses^ soit dans la conclusion .
On devrait aussi faire remarquer ici d'une manière précise le fait indiqué dans un chapitre précédent , à savoir, que le raisonnement par lequel on prouve une inégalité, procède évidemment par l'intuition que les rapports qui sont égaux à un même rapport, sont égaux entre eux. Les rapports étant des rapports d'inégalité, la filiation par laquelle le dernier se tire du premier, ne peut s'expliquer que de cette manière : et le parallélisme qui existe entre les inégalités et les équations, au point de vue des actes mentaux qui servent à les résoudre, con6rme la conclusion à laquelle nous sommes déjà arrivés, que dans les inégalités cette intuition est impliquée, quoique d'une manière moins évidente.
Le type le moins élevé du raisonnement quantitatif imparfait, est celui dans lequel les rapports successifs ne sont connus que comme rapports d'inégalité, sont présentés d'une manière qui ne les définit ni comme rapports de supériorité, ni comme rapports d'infériorité. Par exemple :
—est inégal à y
«' est inégal à j/'
X est inégal à y.
Dans ce cas, le processus déduclîf est le même que ci-dessus. Les rapports successifs sont perçus comme semblables au «nt de vue de leur inégalité, sans que l'on sache lesquels
soût les plus grands, des premiers ou des seconds. Il y a une coordination définie des rapports successifs, bien que chaque rapport soit déBni dans la plus faible proportion.
§ 286. Dans les analyses précédentes, on a déjà beaucoup parlé incidemment de ce qui concerne le raisonnement quantitatif simple. Les cas dans lesquels on peut résoudre chaque raisonnement quantitatif composé, sont des raisonnements quantitatifs simples ; et nous avons déjà trouvé que chacun d*eux implique la constatation de Tégalité ou de Tinégalité de deux rapports. Il sera convenable, cependant, d'examiner en eux-mêmes une classe de raisonnements quantitatifs simples qui se présentent habituellement : ceux qui sont des axiomes, et ceux qui sont presque des axiomes.
Commençons par le raisonnement qui nous est familier, à savoir : a que les choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles. » Par un raisonnement qui nous a déjà servi dans un cas analogue, bien que plus complexe, on peut montrer que cet axiome exprime une intuition de Tégalité de deux rapports. Ainsi, soient A, B et C les trois grandeurs, il est clair que si Ton examine A et C en eux-mêmes^ en succession immédiate, on ne peut reconnaître leur égalité, puisque cette égalité ne peut être connue que parce que Tégalité à B est commune aux deux. Si, d*un autre côté^ B est intercalé dans la conscience, et si Ton examine successivement les trois grandeurs — A^ B, C ou C, B, A, — A et C ne se présentent point alors dans la juxtaposition qui est impliquée par la conscience de leur égalité. Il ne reste plus qu'à examiner ces grandeurs par couples, comme il suit :
Quand A et B sont réunis dans un seul concept, un rapport d'égalité, et quand C et B sont réunis dans autre concept
30 ANALYSE SPÎ^XIALK.
analogue, il devient impossible de reconnaître Tégalité de ces deux rapports d'égalité, qui ont un terme commun, sans que l'égalité des autres termes soit impliquée dans Tintuition.
On pourra montrer clairement que l'acte mental est tel que nous l'avons décrit, en prenant un cas dans lequel quelques* unes des grandeurs employées ont cessé d'eiistcr. Supposons que  représente une mesure étalon conservée par l'Etat, et qu'un inspecteur possède une mesure B,qui est lareproduction exacte de la mesure originale A. Supposons que, dans le cours de son inspection, la mesure B soit brisée, et que sur ces entrefaites l'établissement où était renfermé l'étalon A ait été brûlé. Malgré cela, en achetant une autre mesure C, qui a été également faite égale à l'étalon A, l'inspecteur peut finir son travail ; et il sait que ses dernières mesures seront d'accord avec les premières'. Par quel processus de pensée arrive-t-il à celte connaissance? Ce ne peut être en comparant B et C , car l'une des deux mesures était délruile avant qu'il possédât l'autre. Ce ne peut être, non plus, en comparant successivement B, A, C et C, A, B , car deux de ces mesures ont disparu. Il est évident, alors, qu'il pense à B et à C, comme étant des copies de A ; qu'il examine quels sont leurs rapports respectifs à l'égard de A, et qu'en reconnaissant Tidentité ou Tégalité de ces deux rapports, il reconnaît inévitablement l'égalité de B et de C. Remarquons ici un fait qui a une grande importance, non-seulement dans ce cas, mais encore dans une infînité d'autres : le fait que l'esprit peut conserver un souvenir exact d'un rapport^ tandis qu'il est incapable de conserver ce souvenir des choses entre lesquelles le rapport existe. Pour modifier l'exemple ci- dessus, supposons qu'un inspecteur ait eu l'occasion, au moment où il les achetait, de comparer les mesures B et C à l'étalon A. Il lui devient possible, plus tard, de se rappeler avec précision le rapport d'égalité de B par rapport à A ; il peut voir par la pensée cette exacte confirmité qu'ils avaient quand ils étaient placés l'un à c6té de l'autre. Mais il ne peut se rappeler les grandeurs elles-
mâmcs avec une semblable précision. Et maintenant remarquons ce que cela implique. Quand on se rappelle deux objets qui n'ont pas été vus en juxtaposition, on peut se faire une idée approximative de leurs grandeurs relatives, si leur différence est notable ; mais s'ils sont à peu près de la môme grandeur, le jugement par lequel on décide lequel est le plus grand» peut aussi bien être faux que vrai. Si alors ces deux grandeurs séparément observées, ne peuvent être plus tard représentées dans la conscience, aussi distinclement que leur égalité ou leur inégalité peuvent ôlre déterminées ; et si, d'un autre côté, un rapport d' égalité qui a été auparavant déterminé par la juxtaposition des deux grandeurs peut être représenté dans la conscience avec une parfaite clarté, et reconnu comme égal à quelque autre rapport d'égalité, il devient évident que, dans les cas semblables à ceux que nous avons donnés cidessus, la vérité perçue ne peut être atteinte par le souvenir des grandeurs, mais peut être atteinte par le souvenir des rapports.
Certaines intuitions dans lesquelles la chose connue est le rapport, non de deux rapports d'inégalité qui ont un terme commun, mais de deux rapports d'inégalité qui ont un terme commun, diffèrent de ce premier type. Ainsi, si A est plus grand que B et si B est plus grand que C, A est plus grand que C ; et inversement, si chacune de ces grandeurs est plus petite au lieu d'être plus grande, l'acte de pensée peut être représenté comme il suit :
Le rapport de A à B étant donné comme un rapport de supériorité, tandis que celui de C à B est donné comme un rapport d'infériorité , on connaît que le rapport de A à B est plus grand que le rapport de C à B ; et comme le terme B est
commun aux deux rapports, riuluition que le rapport de A à B est plus grand que le rapport de C à B, ne peut se former sans impliquer Tintuition que A est plus grand que C.
Au contraire^ si A est plus grand que B et si B est égal à C, nous savons qae A est plus grand que C. Et si le premier rap* port est un rapport d'égalité, et le second un rapport d'inégalité, il y a une intuition de la même nature. Dans ces cas et surtout dans le premier, nous pouvons exprimer l'aete mental comme il suit :
Ici, comme ci-dessus, la grandeur B étant commune aux deux rapports, le rapport de A à B ne peut être connu comme plus grand que le rapport de C à B, sans que Ton connaisse la supériorité de A par rapport à C. On ne peut concevoir comme inégaux des rapports qui ont un terme commun, à moins que les autres termes ne soient inégaux. Et de même que deux grandeurs placées Tune à côté de Tautre, ne peuvent être perçues inégales sans que Ton voie en même temps laquelle est la plus grande ; de même, de deux rapports comparés, Tun ne peut être perçu comme plus grand que l'autre, sans que l'on perçoive en même temps lequel est plus grand que l'autre.
§ 287. Après les intuitions quantitatives simples, contenues dans les axiomes, ou susceptibles de l'être, nous avons à considérer la classe d'intuitions, dans laquelle quatre grandeurs et non trois sont en présence. C'est en se fondant sur les axiomes de cette nature que se font les transformations successives d'une équation.
Parmi les plus fréquents, on peut citer les suivants : — Les sommes de quantités égales sont égales. Si de sommes égales on retranche des quantités égales, les différences sont égales.
Si des quantités égales sont multipliées par des quantités égales, les produits sont égaux. Si Ton divise par des quantités égales des quantités égales, les quotients sont égaux. Ces axiomes ont naturellement des axiomes correspondants qui expriment des intuitions contraires ; par exemple : Si à des quantités égales on ajoute des quantités inégales, les sommes sont inégales. Si des quantités égales sont divisées par des quantités inégales^ les quotients sont inégaux^ etc. Quelquesunes des intuitions de cet ordre sont plus complexes. Je peux citer celles par lesquelles on connaît que si à des quantités inégales on retranche des quantités égales, les restes sont plus inégaux, et réciproquement, que si à des quantités inégales on ajoute des quantités égales, les sommes sont moins inégales. Â ces cas généraux on pourrait ajouter des cas spécifiques dans lesquels les premiers couples d'inégalités étant dans un rapport de supériorité^ les seconds couples sont dans un rapport plus ou moins grand de supériorité, suivant les cas ; et de même quand le rapport est un rapport d'infériorité.
Ainsi, si A-}- c est plus grand que B + ^i A est dans une plus haute proportion plus grand que B, — intuition qui est exprimée par le tableau précédent.
Pour le but .que nous nous proposons ici, il est inutile d'entrer dans le détail des variétés qui appartiennent à cette classe. Il nous suffira de remarquer que, aussi bien pour ces cas, dans lesquels la chose perçue est l'inégalité de deux rapports, que pour les cas opposés, dans lesquels on perçoit l'égalité de deux rapports, cette classe diffère de la classe précédente en ce que les rapports, au lieu d'être unis, sont désunis. Dans la classe précédente, dont le type le plus simple est l'axiome : « Les choses qui sont égales à une même chose
sont égales entre elles, » il y a invariablement waVevm^ ^wsi- II. "^
muD aux deux rapports, tandis que dans la classe présente, dont nous pouvons prendre comme échantillon Taxiome : — <c Si à des quantités égales on ajoute des quantités égales^ les sommes sont égales, » ces rapports comparés n*ont aucun terme en commun. Aussi, dans cette seconde série, les rap* ports étant parfaitement indépendants et distincts, les processus mentaux dans lesquels ils entrent sont plus facilement analysables. Il est en même temps manifeste que chacun des axiomes cités plus haut implique une intuition de Fégalité ou de rinégalité de deux rapports; et de fait, cela est partout constaté d'une manière plus ou moins déterminée. Dans chaque cas, il y a un certain rapport dont les termes sont modifiés d'une manière déterminée, et il y a une affirmation que le nouveau rapport est ou n'est pas égal à l'ancien, — affirmation qui, ne reposant sur aucun raisonnement, exprime une intuition.
§ 288. Il nous reste à noter un autre fait touchant ces deux groupes d'intuitions (axiomes). Il y a pour elles et pour les intuitions que les proportions expriment une racine commune. Un groupe d'intuitions (axiomes) a une communauté d'origine avec cette espèce de proportion, dans laquelle la seconde des trois grandeurs est un moyen terme entre la première et la troisième ; et l'autre groupe a une communauté d'origine avec cette espèce, dans laquelle la proportion existe entre quatre grandeurs séparées. Ainsi l'axiome : — a Les choses qui sont égales à la même chose sont égales • entre elles, » peut, si nous appelons ces choses A, B et C^ être écrit ainsi :
Et de même l'axiome : — « Les sommes de quantités égales sont égales, » si nous appelons A et B les deux membres de l'égalité primitive, et G et B les seconds membres, peut être exprimé ainsi :
Les intuitions par lesquelles les proportions sont établies diffèrent de la majorité des intuitions précédentes simplement
par leur plus grande déterminatioD, — par leur caractère entiërement quantitatif. Les deux rapports sont toujours exactement égaux» quelles que soient les grandeurs, — et ne sont pas réunis par des signes indéterminés signifiant plus grand que ou moins grand que ; et quand la proportion est exprimée numériquement, elle n'implique pas seulement Tintui^ tion que deux rapports sont égaux, mais les chiffres indiquent de combien chaque grandeur est le multiple ou le sous-multiple des autres.
