II. — Moyenne de déviation
280. Des différentes mesures de la dispersion, la moyenne de déviation est la plus simple et la plus rapidement calculée. On a vu plus haut ce qu'on entend par « écarts » et l'on a démontré que la somme algébrique des écarts à la moyenne arithmétique est égale à zéro. Mais, si au lieu de donner aux écarts leurs signes propres, on les considère tous comme étant de signe positif, on obtient alors une valeur positive, qui, divisée par le nombre de termes, prend le nom de moyenne de déviation (mean déviation).
Cette moyenne de déviation, désignée habituellement par la lettre A peut se calculer d'après des écarts pris par rapport à la moyenne ou à toute autre mesure. Cependant, il est recommandé de calculer les écarts des nombres à la médiane, de préférence à toute autre mesure. En effet, comme Laplace l'a démontré en 1818 déjà, la moyenne de la ; déviation est la plus petite possible quand on utilise la médiane comme point de comparaison.
Pour calculer la moyenne de déviation d'une série composée de nombres sans distribution de grandeur, il n'y a qu'à se rappeler les règles de calcul de la médiane.
Nous avons dit plus haut (Cfr. n° 256) que si le nombre de variables est impair, il suffit de laisser tomber à droite et à gauche un nombre égal de variables et d'attribuer la valeur médiane à la grandeur, représentée par une seule variable, placée entre les deux groupes ainsi constitués, les grandeurs étant placées dans leur ordre naturel.
La moyenne de déviation s'exprime au moyen de la formule suivante :
v(m — Mé) Zdm b.T, - i - ' ou (27)
Soient les nombres, déjà utilisés pour des exemples antérieurs : 19, 25, 26, 28, 32, 33, 40. Par la simple inspection
LA DISPERSION ET SES MESURES
des nombres, nous voyons que la médiane est 28. Nous avons donc :
Exemple 3.
Xn
La moyenne arithmétique des mêmes nombres est 29. Calculant la moyenne de déviation en adoptant cette base de la moyenne, ainsi qu'on l'a fait à l'exemple précédent, nous avons :
Exemple 4.
La moyenne de déviation est donc ici trouvée plus petite quand on la calcule d'après la médiane que quand on la prend par rapport à la moyenne, résultat conforme à la théorie (1).
xt
Xq
Xn
(1) La. moyenne de déviation a un rapport direct, comme on le verra plu9
loin, avec la standard déviation, ou déviation-type. Il existe un moyen rapide
de contrôler, l'un par l'autre, les résultats du calcul : en effet, la moyenne de
déviation représente environ les 4/5 de la standard déviation. Le rapport
moyenne de déviation (d'après médiane)
entre les deux valeurs est donc :
déviation type.
On reviendra sur ce point au n° 280.
281. Donnons encore un exemple d'après une série composée de nombres se succédant l'un l'autre. D'après le tableau inséré au n° 259, nous avons vu que, pour 94 amandes, dont la longueur avait été soigneusement mesurée, nous avons trouvé que les écarts à la médiane étaient :
