III. — La déviation-type
284. (Standard déviation). La définition de la standard déviation a été donnée en 1894 par M. Pearson dans son premier mémoire faisant partie de l'ensemble intitulé : « Contributions to the mathematical theory of évolution. » Cette mesure est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des écarts. L'expression standard déviation est le terme sous lequel on désigne cette mesure de variabilité, mais en calcul des probabilités elle porte le nom de « erreur moyenne quadratique ». On l'appelle aussi « erreur moyenne » ou « erreur moyenne à craindre » (G-auss), mais pour éviter les confusions il est préférable de réserver le nom d'erreur moyenne à l'erreur première représentée par
LA DISPERSION ET SES MESURES
et d'appeler erreur carrée ou quadratique moyenne celle de la forme
Comme aussi on peut parler de l'erreur cubique moyenne
Ces diverses mesures présentent entre elles des relations très curieuses ; par exemple, on démontre que
lorsqu'on a un très grand nombre d'observations, toutes d'égale précision (1).
La déviation-type ou standard déviation est représentée par la lettre a et sa formule est la suivante, donnée par l'équation :
Il est important de rappeler ici que, d'après la seconde propriété des moyennes, la somme des carrés des écarts à la moyenne est un minimum (Cfr. n° 242).
La formule, telle qu'elle est écrite plus haut, est très claire et se rapproche sensiblement de la formule de la moyenne arithmétique simple.
I^a formule de la déviation type ou standard déviation peut aussi s'écrire :
fa + fb +
+ fn
(1) Boudin-Mansion, loc. cit., pp. 174 et 239.
(2) Hijjerton (Palin W.), Frequency-curves and corrélations. Londres,. Uyton, 1906, p. 10.
fa, fb, fn désignent les fréquences et a', b' , ri', l'écart par rapport de la moyenne.
La grandeur de la standard déviation montre quel est l'espacement des fréquences autour de la moyenne : si la déviation-type s'exprime par une fraction proche de l'unité, c'est que la dispersion autour de la moyenne est considérable; au contraire, la fraction diminue d'autant plus que les fréquences sont resserrées autour de la valeur centrale.
Dans les formules ci-dessus, on a en vue le cas le plus simple, celui où une succession de nombres, ayant tous un poids égal, constitue la série, comme dans l'exemple suivant :
Exemple 6. — Nombre de mariages en Angleterre et dans le Pays de Galles de 1891 à 1900
ANNÉES
Nombre de mariages
Écarts à la moyenne
LA niSPKKSION ET SES MESUHES
285. D'après ce qui précède et en se souvenant de ce qui a été exposé à propos du procédé indirect de recherche de la moyenne (Cfr. n° 229) il n'est pas difficile de saisir - une formule générale d'une expression analogue à la standard déviation, basée sur une valeur autre que M.
Lorsque nous prenons pour origine une valeur autre que la moyenne arithmétique et que nous calculons l'écart (£) de chaque terme (X) à cette valeur arbitraire (A), nous avons (1) :
et la formule de l'expression cherchée est analogue à celle de la standard déviation (form. 28A) ; nous écrivons (s2 étant le symbole de l'expression nouvelle) :
Quant au rapport de s2 à a2, il est aisé à définir :
plus l'écart entre la moyenne véritable et la valeur arbitraire choisie, que nous appellerons d :
Faisons application de la règle à l'exemple 4 du chapitre II. Il reste entendu que l'intervalle de chaque classe
est partagé en deux parties égales ; de sorte qu'au
taux initial il suffit d'ajouter chaque fois 0.125. De même que dans l'exemple 7 du chapitre II, au lieu de la moyenne 3.807, prenons comme valeur arbitraire (A), origine des
(1) Pour cette démonstration et ce qui suit, cfr. l'exposé détaillé de Yule. ovrragc cite, p. 134 et suivantes.
écarts, le point 3.625. Nous procédons alors comme suit : du point d'origine, ayant pour valeur 0 nous remontons vers les taux les plus bas en attribuant successivement à chaque classe les valeurs 1, 2, 8, etc., et nous procédons de même, en sens inverse, en partant de l'origine 0, en descendant vers les taux les plus élevés. Nous faisons ensuite le produit de ces valeurs 1, 2. 3, etc., par les fréquences inscrites en regard des classes et enfin le produit des- mêmes fréquences par le carré des écarts ou, pour procéder d'une manière plus rapide, nous multiplions encore une fois le produit obtenu par les fréquences, puis nous additionnons les produits. Nous rappelant d'après l'exemple 8 du chapitre II, que l'intervalle de la classe est 0.182, nous divisons le dernier produit total de la colonne 5 par le nombre total des fréquences, et nous soustrayons du quotient la valeur 0.182 au carré; enfin, nous extrayons la racine carrée du reste et nous tenons compte de la grandeur de l'intervalle de la classe. (Voir tableau ci-contre.)
la dispehsion et ses mesures Exemple 7
CLASSES
Fréquences
Déviation p;ir rapport à A = 3.625 'E)
Produits
Produits
Fr.
SOO
286. Une règle de calcul un peu différente peut être formulée en ces termes (1) : adopter pour moyenne une certaine valeur arbitraire proche de la moyenne véritable : établir les écarts de chaque terme à cette valeur : en faire le carré, faire la somme des carrés : soustraire n fois le carré de la différence entre le nombre assumé et la moyenne vraie : diviser par n : extraire la racine carrée du quotient.
La formule exprimant cette méthode est la suivante :
Reprenons l'exemple précédent et traitons-le d'après la règle qui vient d'être énoncée.
Nous savons, en premier lieu, que M — 3.807. La valeur arbitraire assumée est A = 3.625.
résultat identique à celui obtenu précédemment.
Nous avons vu (Cfr. n° 250) qu'on démontre facilement que la moyenne d'une série entière est égale à la somme des moyennes particulières, divisée par le nombre de ces moyennes, formées à l'aide des termes de la série, si ces termes ont un poids égal. M. Yule démontre la même propriété en ce qui concerne la standard-déviation (2). Appe-
M — A = — 0.182 (M - A)2 = 0,03312 n (M — Aj2 = — 14.340 Le produit S (/'£)* = 8160
(1) D'après King (W. I.), Eléments of statistical method, New-York, 1912, p. 149.
Cfr. An Introduction to the theory of statistics, p. 142.
LA DISPERSION ET SES MESURES
loris M la moyenne d'une série entière, Mj et M2 les moyennes de parties composant cette série, di et d2 la différence, nous avons évidemment
Mi — M = di M2 — M = d2
et les standard déviations à partir de M sont, en raison de ce qui a été dit plus haut,
oV + <ii*
Donc
N. S* = Nl (ffit + dl«) + N2 (0-22 + ^2)
et par conséquent, en admettant que les termes des deux séries particulières soient en nombre égal + N2 = -j^j
