IV. — Déviation interquartile

288. Nous savons qu'on donne le nom de médiane à la valeur centrale de la série statistique. Partant de là, nous sommes amenés à une notion nouvelle : celle d'une valeur qui, de concert avec la médiane, partagerait la série en quatre parties. Admettons que l'on puisse déterminer une valeur telle que tous les termes de la série qui la précèdent ne représentent pas plus du quart du nombre total, et une seconde valeur telle que les observations qui la suivent valent un quart de la somme; alors nous avons le premier et le troisième quartile. On les désigne par les lettres Qi et Q3. Le second quartile se confond évidemment avec la médiane. Les quartiles et la médiane sont des mesures de position qui ont l'avantage d'être simples et faciles à dé-

(1) U. Yule, loe. cit., p. 253.

(2) Mansion, loc. cit., p. 280, note (*).

terminer. L'intervalle compris entre les deux quartiles et Q3 est exactement égal à celui qui précède Qx plus celui qui suit Q3. Dans chacun des quatre groupes constitués parées mesures, on relève un nombre égal de fréquences et l'on peut poser :

Mé — = Q3 — Mé

dans le cas d'une distribution rigoureusement symétrique. Mais au lieu de cette mesure de dispersion dont les conditions ne se trouvent que rarement réalisées, on admet en pratique la substitution de l'expression suivante :

Qi - Q3 (33) S

Pour déterminer Qx, Q3 et Mé, on se sert des formules suivantes :

Me = — ^ — termes (34)

Qi = — i — termes , (35)

Q3 = 4 -termes (36)

A l'aide de la même formule, on peut fixer, comme nous le verrons plus loin, la valeur des déciles (dixièmes de la grandeur totale) et les percentiles (centièmes de la série observée).

La médiane et les quartiles sont particulièrement faciles à trouver dans les séries composées de variables classées d'après leur grandeur, chaque grandeur étant répétée autant de fois qu'il y a d'objets la représentant. L'exemple des 94 amandes que nous avons donné en parlant de la médiane comme moyen de représentation synthétique peut servir d'illustration. Le lecteur voudra bien se reporter au tableau dans lequel les 94 amandes sont classées d'après leur longueur (Cfr. n° 259, ex. 18). D'après la formule qui

LA DISPERSION ET SES MESURES 457

précède, nous savons que la médiane est placée ainsi :

- ou ^ ^ — 47,5, c'est-à-dire qu'elle se trouve entre 2 2

le 47° et le 48e terme; consultant le tableau, nous voyons que les longueurs de la 47e et de la 48° amandes sont identiques (3 c. 25) et que la médiane est donc 3 c. 25. Le pre- N 4- 1

mier quartile est : — -j — = 23,7; en nous reportant au

tableau, nous constatons que les longueurs indiquées au n° 23 et au n° 24 diffèrent, étant respectivement 3 c. 00 et 3 c. 02, nous prenons la moyenne de ces deux termes et nous écrivons : Qi = 3,01. Enfin, le troisième quartile est

- -p- — ■ — 71,1. c'est-à-dire une valeur intermédiaire

entre celles inscrites sous les nos 71 et 72 ; cette valeur étant la même pour les deux variables, nous écrivons : Qs = 3,52.

La mesure de la dispersion interquartile est par conséquent :

Si ~ Q' 3M ~ ^ 0,285

289. La déviation interquartile est particulièrement utile pour caractériser deux séries que l'on désire comparer, par exemple le relevé des salaires à deux époques différentes. Bosco, qui a calculé la déviation interquartile des salaires des ouvriers mineurs belges en 1896 et en 1900 (ouvriers adultes travaillant au fond) d'après l'enquête de l'Office du travail de Belgique (1), a déterminé les résultats suivants (2) :

Exemple 8.

Quartile inférieur .... . f r. 3.11 4.27

Médiane 3.58 5.07

Quartile supérieur 4.19 6.40

(1) Office du Travail de Belgique, Statistique des salaires dam les mines: de houille, octobre 1896, mai 1900. Bruxelles, 1901, p. 34.

(2) Bosco (A.), Lezioni di statistica, p. 508.

Vérifions les calculs du statisticien italien en ce qui concerne : 1° la médiane de 1896 ; 2* le quartile supérieur pour la même année.

En 1896, travaillaient au fond : 61,299 ouvriers. (Cfr.

n 4- 1 61 299 4- 1 Mé= ± = 01 ' ^ = 30,650

Jusqu'à la classe 3 fr. à fr. 3.49, dont la moitié est fr. 3.25, il y a 155, 861 , 2,860 , 7,660 16,456 ouvriers = 27,992. La médiane est donc comprise dans la classe suivante : fr. 3.50 à fr. 3.99. Mais comme cette classe est trop nombreuse (13,444 ouvriers), il y a lieu de procéder à une interpolation simple, du genre de celle que nous avons déjà calculée précédemment. D'après cela, on a :

Mé - 3.49 + .2;6!f.. Va = 3,49 4- 0,09 = 3,58 11,444 4

résultat qui concorde avec celui obtenu par Bosco.

En ajoutant à la classe 3 fr. à fr. 3.49 la classe entière qui la suit immédiatement, on arrive au chiffre de 41,436, proche du troisième quartile. La classe suivante (4 francs à fr. 4.49) est celle qui contient le quartile, mais comme elle est trop nombreuse, il y a lieu de procéder comme ci-dessus. On a donc :

ainsi que Bosco l'a calculé.

Qx calculé d'après la même méthode donne fr. 3.11.

La dispersion interquartile des salaires recueillis en 1896, est de :

LA DISPERSION ET SES MESURES 459

La même mesure pour 1900 est :

290. A titre de vérification on peut utilement se rappeler que la mesure de la dispersion interquartile représente environ les deux tiers de la déviation-type, l'exactitude de ce rapport n'existant d'ailleurs que dans les cas où la courbe se rapproche sensiblement de la courbe normale. Ainsi, dans le cas de la distribution des salaires parmi une population ouvrière, on n'obtiendrait pas une vérification complète du rapport dont il s'agit, mais seulement une approximation. La dispersion interquartile des salaires des ouvriers mineurs (fond) en Belgique en 1896 a pour mesure 0.54, pour la même série, o a pour valeur 0.86.

Le rapport

ne répond pas tout à fait à la proportion des deux tiers, parce que la courbe des salaires n'affecte pas la forme de la courbe normale. Malgré ces conditions défectueuses, la règle empirique ci-dessus, en ne la prenant que comme une large approximation, peut être regardée comme un guide de l'esprit et une vérification sommaire du travail arithmétique.

La grande simplicité des opérations arithmétiques nécessaires au calcul assure à la mesure de dispersion interquartile une faveur qu'il serait difficile de lui disputer. Cependant, il ne faut pas s'illusionner sur la valeur du procédé. Il ne prend sa signification entière que si la courbe de la série est à peu près symétrique ou normale. La dispersion interquartile se base sur le fait que, la déviation entre les quartiles étant mesurée, il y lieu de penser que cette valeur représente la série entière; c'est donc comme s'il n'y avait pas de modification sensible à la courbe en

dehors des quartiles. Le postulat est exact pour les courbes normales, mais il est faux pour les autres. Après le troisième quartile, il y a encore place pour de nombreuses altérations. Dans les statistiques de salaires, notamment, on remarque aux époques de hausse une poussée qui étend vers la droite, bien loin au delà du point normal, la courbe de distribution des salaires.